MMPersistence: A mathematical morphology-oriented software library for computing persistent homology on cubical complexes

Titolo

MMPersistence: Una libreria software orientata alla morfologia matematica per il calcolo dell'omologia persistente su complessi cubici

1. Il Problema

L'analisi dei dati topologici (TDA), in particolare l'omologia persistente (PH) calcolata su complessi cubici, è uno strumento fondamentale per estrarre caratteristiche topologiche (come componenti connesse e buchi) dalle immagini digitali. Tuttavia, l'approccio convenzionale si basa sulla filtrazione dei sotto-livelli (sublevel-set filtration), che tratta l'immagine come una funzione di intensità dei pixel.

• Limitazioni dell'approccio convenzionale: Questo metodo è altamente sensibile ai valori di intensità estremi (es. rumore "sale e pepe" o pixel con valori massimi/minimi). Strutture topologiche composte da pixel con intensità moderate, anche se spazialmente estese, possono apparire meno significative o avere una "vita" (persistence) breve rispetto a piccole strutture con intensità estreme.
• Perdita di informazioni geometriche: L'approccio basato sui sotto-livelli cattura le caratteristiche topologiche legate all'intensità, ma trascura spesso le caratteristiche geometriche locali, come la forma, le dimensioni reali dei buchi e la connettività spaziale, rendendo difficile distinguere tra strutture topologicamente simili ma geometricamente diverse.

2. Metodologia

Il paper propone un nuovo framework che integra la Morfologia Matematica (MM) con l'omologia persistente. La libreria software MMPersistence implementa questo approccio.

• Fondamenti Teorici:

  • Utilizza operazioni morfologiche classiche: erosione, dilatazione, apertura e chiusura, applicate tramite elementi strutturanti (SE, Structuring Elements).
  • Invece di filtrare basandosi sui valori di intensità dei pixel, il metodo costruisce filtrazioni topologiche applicando sequenze di operazioni morfologiche con elementi strutturanti di dimensioni crescenti (es. quadrati $S_n$).
  • Per le immagini binarie, le operazioni modificano le regioni bianche/nere, creando una sequenza di spazi topologici (complessi cubici) che evolvono.
  • Per le immagini in scala di grigi, il framework combina la soglia (thresholding) con le operazioni morfologiche, creando una bifiltrazione (o multifiltrazione) parametrizzata sia dal valore di soglia che dalla dimensione dell'elemento strutturante.

• Implementazione Software:

  • La libreria è scritta in Python.
  • Si appoggia a GUDHI per il calcolo dell'omologia persistente su complessi cubici.
  • Utilizza Persim (parte di Scikit-TDA) per la visualizzazione dei diagrammi di persistenza (PD) e dei codici a barre (PB).
  • È stata sviluppata e testata su Google Colab.

3. Contributi Chiave

1. Libreria MMPersistence: Il primo software open-source che integra direttamente le filtrazioni basate sulla morfologia matematica con il calcolo dell'omologia persistente su complessi cubici per immagini 2D.
2. Nuova Interpretazione Geometrica: Il lavoro dimostra che i diagrammi di persistenza derivati dalla MM codificano informazioni geometriche specifiche che mancano nell'approccio convenzionale:
   • Erosione/Apertura: I valori di "morte" (death) nei diagrammi di persistenza corrispondono direttamente alle dimensioni (spessore) delle strutture o dei buchi. Permette di quantificare la "grandezza" di un buco in termini di quanti passi di erosione sono necessari per eliminarlo.
   • Dilatazione/Chiusura: Queste operazioni catturano la connettività e la dispersione spaziale. La persistenza delle strutture riflette la distanza tra componenti vicine o la densità dei cluster.
3. Robustezza al Rumore: Dimostrazione che l'approccio basato sulla MM è significativamente più robusto al rumore (es. rumore sale e pepe) rispetto alla PH tradizionale. Mentre il rumore altera drasticamente i diagrammi di persistenza convenzionali (a causa dei valori di intensità estremi), le filtrazioni morfologiche tendono a ignorare o filtrare queste anomalie, mantenendo stabile la rappresentazione topologica delle strutture reali.
4. Metriche di Confronto: Utilizzo della distanza di imbottigliamento (bottleneck distance) per quantificare la differenza tra i diagrammi di persistenza convenzionali e quelli basati sulla MM, mostrando una distanza molto minore tra immagini simili quando si usa l'approccio morfologico.

4. Risultati

• Immagini Binarie: Sperimentazioni su immagini con buchi rettangolari e curve irregolari mostrano che i diagrammi di persistenza basati sull'erosione permettono di distinguere buchi di diverse dimensioni geometriche, anche se topologicamente identici. I valori di morte nel PD correlano con la larghezza dei buchi.
• Immagini con Rumore: In un esperimento comparativo con un'immagine originale e una versione corrotta da rumore sale, la distanza di imbottigliamento tra i diagrammi di persistenza convenzionali è stata di circa 0.4353, mentre per i diagrammi basati sulla MM (con apertura) è scesa a 0.091. Questo conferma che l'approccio MM è molto più stabile e informativo riguardo alla struttura reale dell'immagine.
• Immagini in Scala di Grigi: L'estensione a immagini in scala di grigi tramite bifiltrazione permette di ottenere rappresentazioni multiscala che catturano sia le informazioni di intensità che quelle morfologiche.

5. Significato e Implicazioni

• Ponte tra TDA e Elaborazione delle Immagini: Il lavoro unifica due campi spesso separati: l'analisi topologica dei dati e l'elaborazione morfologica delle immagini, fornendo un terreno comune per l'analisi.
• Miglioramento per l'Apprendimento Profondo: Offre un modo per integrare caratteristiche topologiche ricche di informazioni geometriche nelle architetture di Deep Learning, potenzialmente migliorando la robustezza e l'interpretabilità dei modelli.
• Applicazioni Pratiche: Il framework è particolarmente promettente per l'analisi di immagini biomediche (es. caratterizzazione di reti mitocondriali, analisi di microscopia), dove la quantificazione della connettività, della frammentazione e delle dimensioni delle strutture è critica.
• Accessibilità: Rendendo il codice disponibile su GitHub, il lavoro democratizza l'accesso a tecniche avanzate di TDA morfologica per ricercatori e ingegneri.

In sintesi, MMPersistence rappresenta un passo avanti significativo nell'analisi topologica delle immagini, spostando il focus dalla semplice intensità dei pixel alla struttura geometrica e morfologica intrinseca dei dati, offrendo strumenti più robusti e informativi per l'analisi di immagini complesse e rumorose.