MMPersistence: A mathematical morphology-oriented software library for computing persistent homology on cubical complexes

Probleemstelling

Traditionele methoden voor Topological Data Analysis (TDA), en specifiek persistente homologie (PH) op digitale afbeeldingen, maken vaak gebruik van sublevel-set filtraties. Hierbij wordt een grijswaardenafbeelding gethreshold op verschillende pixelintensiteiten om een reeks binaire afbeeldingen te genereren. Hoewel deze methode effectief is voor het vastleggen van topologische structuren (zoals samenhangende componenten en gaten), heeft deze benadering belangrijke beperkingen:

1. Gevoeligheid voor extreme pixelwaarden: Structuren met zeer hoge of zeer lage intensiteiten (bijvoorbeeld ruis zoals "zout-en-peper" ruis) kunnen onrealistisch lange levensduur hebben in persistentiediagrammen (PD's), zelfs als hun ruimtelijke omvang minimaal is.
2. Verlies van geometrische informatie: De sublevel-set-benadering negeert vaak lokale geometrische en vormgerelateerde kenmerken. Het onderscheidt niet goed tussen structuren die groot zijn maar een gemiddelde intensiteit hebben, en kleine structuren met extreme intensiteiten.
3. Beperkte robuustheid: Bij het vergelijken van afbeeldingen met ruis vertonen de PD's van conventionele PH grote verschillen (gemeten via de bottleneck-afstand), wat de betrouwbaarheid voor beeldanalyse beperkt.

Methodologie

Het artikel introduceert MMPersistence, een Python-bibliotheek die wiskundige morfologie (MM) integreert met persistente homologie op cubische complexe. De kern van de methodologie bestaat uit het gebruik van morfologische operaties om filtraties te construeren in plaats van alleen pixelintensiteiten.

1. Wiskundige Morfologie (MM):

   • De methode gebruikt structurerende elementen (SE's), vaak vierkante vormen ($S_n$), om lokale omgevingen rondom pixels te definiëren.
   • Er worden vier fundamentele operaties toegepast: Erosie ($\epsilon$), Dilatatie ($\delta$), Opening ($O$) en Sluiting ($C$).
   • Deze operaties manipuleren de lokale geometrie van de afbeelding (bijv. het verwijderen van kleine witte vlekken of het verbinden van gescheiden gebieden).

2. Constructie van Filtraties:

   • In plaats van te filtreren op intensiteit, wordt er gefiltrerd op de grootte van het structurerende element.
   • Erosie/Opening: Voor een binaire afbeelding $f$ en een geneste reeks SE's ($B_1 \subseteq B_2 \subseteq \dots$), wordt een filtratie gegenereerd waarbij de zwarte gebieden groeien: $\mathcal{X}_f \subseteq \mathcal{X}_{\epsilon_{B_1}(f)} \subseteq \dots$. Dit is ideaal om de grootte van gaten (holes) te meten.
   • Dilatatie/Sluiting: Hierbij wordt de filtratie omgekeerd of andersom opgebouwd om de connectiviteit van witte gebieden te analyseren.
   • Voor grijswaardenafbeeldingen wordt eerst gethreshold (om een binaire afbeelding te krijgen) en vervolgens de morfologische filtratie toegepast. Dit creëert een bifiltratie (gebaseerd op drempelwaarde en SE-grootte), hoewel de bibliotheek zich in deze implementatie richt op het aggregeren van PD's over meerdere drempelwaarden.

3. Software-implementatie:

   • De bibliotheek is gebouwd op GUDHI (voor cubische complexe en PH-berekeningen) en Persim (voor visualisatie).
   • Het is geschreven in Python en maakt gebruik van Numba en OpenCV voor efficiënte berekeningen.

Belangrijkste Bijdragen

1. MMPersistence Bibliotheek: De eerste open-source Python-bibliotheek die specifiek is ontworpen om persistente homologie te berekenen op basis van morfologische filtraties voor 2D digitale afbeeldingen.
2. Geometrische Interpretatie: Het artikel biedt een nieuwe interpretatie van de geboorte- en sterftetijden in persistentiediagrammen:
   • Bij erosie/opening corresponderen de doodswaarden direct met de grootte (dikte) van de gaten of structuren in de afbeelding.
   • Bij dilatatie/sluiting geven de persistentie-intervallen inzicht in de ruimtelijke spreiding en connectiviteit van structuren.
3. Robuustheid tegen Ruis: Het aantonen dat MM-gebaseerde PH veel robuuster is tegen ruis (zoals zout-en-peper ruis) dan conventionele sublevel-set PH. Ruis veroorzaakt vaak alleen intervallen dicht bij de diagonaal in het PD, terwijl de echte structurele informatie behouden blijft.
4. Unificatie: Het creëren van een raamwerk dat topologische inzichten (TDA) combineert met morfologische beeldverwerkingstechnieken.

Resultaten

De auteurs hebben de bibliotheek getest op zowel binaire als grijswaardenafbeeldingen:

• Binaire Afbeeldingen: In experimenten met afbeeldingen met gaten van verschillende grootte, toonde de erosie-filtratie aan dat de doodswaarden in het PD nauwkeurig de breedte van de rechthoekige gaten weergaven. Bij onregelmatige vormen (zoals kromme lijnen) leverde de methode kwantitatieve informatie op over de "dikte" van de lijnen.
• Grijswaardenafbeeldingen en Ruis:
  • Een vergelijking tussen een originele afbeelding en een afbeelding met toegevoegde zout-en-peper ruis toonde een grote bottleneck-afstand (0.4353) voor conventionele PH.
  • Voor de MM-gebaseerde PH (met een vaste drempelwaarde en opening-filtratie) was de bottleneck-afstand aanzienlijk kleiner (0.091). Dit bewijst dat de MM-methode de ruis effectief filtert en de onderliggende geometrische structuur behoudt.
• Ruimtelijke Inzicht: De resultaten tonen aan dat MM-gebaseerde PD's onderscheid kunnen maken tussen structuren die topologisch identiek zijn maar verschillend zijn in hun ruimtelijke locatie of connectiviteit (bijv. gaten die dichter bij de rand van een object zitten versus diep in het midden).

Significantie

Deze studie is significant voor de volgende redenen:

• Nieuw Perspectief in TDA: Het biedt een alternatief voor de dominante sublevel-set-filtraties, waardoor TDA-toepassingen in beeldverwerking rijker worden aan geometrische en vormgerelateerde informatie.
• Toepassing in Deep Learning: Omdat MM-gebaseerde persistentie stabiel en differentieerbaar kan worden gvectoriseerd, biedt het een veelbelovende basis voor het integreren van topologische priors in deep learning-architecturen voor beeldanalyse.
• Praktische Toepasbaarheid: De bibliotheek is open-source en direct toepasbaar in bestaande Python-workflows (bijv. Google Colab), wat de drempel verlaagt voor onderzoekers in biomedische beeldanalyse, microscopie en complex netwerk-analyse.
• Verbeterde Kwaliteitscontrole: De methode is bij uitstek geschikt voor het kwantificeren van structurele eigenschappen zoals fragmentatie en connectiviteit in complexe systemen (zoals mitochondriale netwerken), waar conventionele methoden tekortschieten.

Kortom, MMPersistence vult een belangrijke lacune in de TDA-toolbox door wiskundige morfologie en persistente homologie te combineren, waardoor beeldanalyse robuuster en geometrisch informatiever wordt.