MMPersistence: A mathematical morphology-oriented software library for computing persistent homology on cubical complexes

1. Planteamiento del Problema

El análisis topológico de datos (TDA), específicamente la homología persistente (PH) computada sobre complejos cúbicos, es una herramienta fundamental para extraer características topológicas (componentes conectados, agujeros) de imágenes digitales. Sin embargo, el enfoque convencional se basa en la filtración por subniveles (thresholding de valores de píxel). Este método tiene limitaciones significativas:

• Sensibilidad al ruido: Prioriza estructuras con valores de intensidad extremos (muy oscuros o muy claros), ignorando estructuras geométricas importantes que tienen valores de intensidad moderados pero que ocupan grandes regiones espaciales.
• Pérdida de información geométrica: La filtración por subniveles captura la intensidad topológica, pero a menudo descuida características geométricas y espaciales locales, como el tamaño real de los agujeros o la forma de las estructuras, especialmente en presencia de ruido (ej. ruido "sal y pimienta").
• Falta de integración morfológica: No existe una implementación de software estandarizada que integre operaciones de morfología matemática (MM) directamente con el cálculo de homología persistente para extraer información multiescala rica en geometría.

2. Metodología

El artículo propone MMPersistence, una biblioteca de software en Python que integra la Morfología Matemática (MM) con la Homología Persistente (PH) sobre complejos cúbicos. La metodología se basa en los siguientes pilares:

• Fundamentos Teóricos:
  • Se define la imagen digital como un complejo cúbico donde los píxeles negros son cuadrados unitarios cerrados.
  • Se utilizan operaciones de MM clásicas: erosión ($\epsilon_B$), dilatación ($\delta_B$), apertura ($O_B$) y cierre ($C_B$), aplicadas mediante elementos estructurantes (SE) de forma cuadrada ($S_n$).
• Construcción de Filtros (Filtrations):
  • En lugar de filtrar por intensidad de píxel, la biblioteca construye filtraciones topológicas basadas en la aplicación secuencial de operaciones morfológicas con elementos estructurantes de tamaño creciente ($B_1 \subseteq B_2 \subseteq \dots$).
  • Filtros de Erosión/Apertura: Generan una secuencia creciente de espacios topológicos ($\mathcal{X}_f \subseteq \mathcal{X}_{\epsilon(f)} \subseteq \dots$), donde los agujeros blancos se expanden o se eliminan progresivamente. Esto permite medir el "grosor" o tamaño de los agujeros.
  • Filtros de Dilatación/Cierre: Generan secuencias donde las regiones blancas se conectan, permitiendo medir la distancia de separación entre estructuras y la conectividad global.
• Extensión a Imágenes en Escala de Grises:
  • Para imágenes en escala de grises, se aplica un umbral ($t$) para obtener una imagen binaria, y luego se aplica la filtración morfológica. Esto crea una representación multiescala que combina información de intensidad y forma.
• Implementación:
  • La biblioteca se construye sobre GUDHI (para el cálculo de homología persistente en complejos cúbicos) y utiliza Persim para la visualización de diagramas de persistencia (PD) y códigos de barras (PB).

3. Contribuciones Clave

1. Biblioteca MMPersistence: Se presenta una librería de código abierto en Python que permite a los investigadores construir filtraciones basadas en MM y calcular PH para imágenes 2D (binarias y en escala de grises).
2. Marco Unificado: Integra la intuición geométrica de la morfología matemática con el rigor topológico de la PH, ofreciendo una perspectiva alternativa a la filtración por subniveles.
3. Interpretación Geométrica: El trabajo proporciona una interpretación geométrica clara de los intervalos de persistencia (PI) en los diagramas resultantes:
   • Los valores de "muerte" en filtraciones de erosión/apertura codifican el tamaño y grosor de los agujeros.
   • Los valores de "muerte" en filtraciones de dilatación/cierre codifican la conectividad y la distancia entre componentes.
4. Robustez al Ruido: Demuestra que los diagramas de persistencia basados en MM son más robustos ante ruido de tipo "sal" (píxeles de intensidad extrema) en comparación con los métodos tradicionales, ya que la morfología matemática tiende a eliminar o suavizar estas anomalías antes de calcular la topología.

4. Resultados

Los experimentos realizados con MMPersistence muestran:

• Captura de Tamaño de Agujeros: En imágenes binarias con agujeros de diferentes tamaños, los diagramas de persistencia basados en erosión muestran valores de muerte que corresponden directamente al ancho de los agujeros, información que la PH convencional (subniveles) no distingue si los valores de intensidad son similares.
• Distancia de Cuello de Botella (Bottleneck Distance): Al comparar una imagen original con una versión corrupta por ruido sal, la distancia de cuello de botella entre los PDs convencionales es alta ($\approx 0.4353$), indicando una gran diferencia estructural. En cambio, la distancia entre los PDs basados en MM es significativamente menor ($\approx 0.091$), demostrando que el método propuesto es insensible al ruido y mantiene la estructura topológica real de la imagen.
• Agrupamiento en Diagramas: Se observó que los intervalos de persistencia con valores de nacimiento positivos tienden a agruparse en clusters en el diagrama, reflejando la irregularidad geométrica de las estructuras, lo cual ofrece una firma topológica más rica.

5. Significado e Impacto

• Avance en TDA e Imágenes: MMPersistence cierra la brecha entre el procesamiento de imágenes clásico (basado en MM) y el análisis topológico moderno. Proporciona características topológicas que son intrínsecamente geométricas y espaciales, no solo basadas en intensidad.
• Aplicaciones Potenciales:
  • Biomedicina: Análisis de redes mitocondriales, donde la conectividad y el tamaño de los huecos son críticos (ya demostrado en trabajos previos de los autores).
  • Aprendizaje Profundo (Deep Learning): Ofrece una nueva clase de características (features) geométricas y topológicas que pueden integrarse en redes neuronales para mejorar la interpretabilidad, la robustez y el rendimiento en tareas de clasificación y segmentación.
  • Análisis de Ruido: Proporciona una herramienta superior para distinguir entre ruido de alta frecuencia y estructuras topológicas reales en imágenes complejas.

En resumen, el artículo introduce una herramienta software y un marco teórico que enriquecen el análisis de imágenes digitales al incorporar la "forma" y la "geometría local" directamente en la topología persistente, superando las limitaciones de los métodos basados puramente en la intensidad de los píxeles.