A Dirichlet-Multinomial-Poisson framework for the coherent analysis and forecast of cause-specific mortality

Titolo e Obiettivo

Il paper propone un nuovo framework probabilistico gerarchico, denominato Dirichlet-Multinomial-Poisson (DMP), per l'analisi e la previsione della mortalità per cause specifiche. L'obiettivo principale è risolvere il problema dell'incoerenza che si verifica quando si modellano separatamente i tassi di mortalità per causa, portando a proiezioni in cui la somma delle morti per causa non corrisponde alla mortalità totale osservata.

Il Problema

Le approcci tradizionali, come il modello di Lee-Carter (LC) applicato singolarmente a ciascuna causa di morte, spesso producono previsioni incoerenti. Poiché le cause di morte sono mutualmente esclusive ed esaustive (struttura composizionale), modellare ogni causa in modo indipendente può portare a:

1. La somma delle previsioni per cause specifiche che supera o è inferiore al totale delle morti.
2. Proiezioni a lungo termine implausibili per scopi di policy sanitaria e attuariale.
3. Una gestione inadeguata dell'incertezza, che non viene propagata in modo unificato tra il totale e le singole cause.

Metodologia: Il Framework DMP

Il modello DMP tratta sia il numero totale di decessi che la loro allocazione tra le diverse cause come variabili casuali all'interno di una struttura gerarchica bayesiana.

1. Componente Poisson (Mortalità Totale):

   • Il numero totale di decessi ($Y_{a,t}$) per un gruppo di età $a$ e periodo $t$ è modellato come una distribuzione di Poisson:
     $$Y_{a,t} \sim \text{Poisson}(E_{a,t} m_{a,t})$$
     dove $E_{a,t}$ è l'esposizione al rischio e $m_{a,t}$ è il tasso di mortalità totale.
   • Il tasso $m_{a,t}$ è modellato utilizzando strutture temporali come il modello Age-Period (AP) o il modello Lee-Carter (LC).

2. Componente Multinomial-Dirichlet (Composizione delle Cause):

   • Condizionatamente al numero totale di decessi, il vettore dei decessi per causa ($Y_{a,t} = (Y_{a,t,1}, ..., Y_{a,t,C})$) segue una distribuzione Multinomial-Dirichlet (DM).
   • Le probabilità di morte per causa ($\gamma_{a,t,c}$) seguono una distribuzione Dirichlet, che garantisce per costruzione che la somma delle probabilità sia 1 (coerenza composizionale).
   • Le probabilità sono modellate tramite una funzione softmax:
     $$\gamma_{a,t,c} = \frac{\exp(\eta_{a,t,c})}{\sum_{c'} \exp(\eta_{a,t,c'})}$$
     dove $\eta_{a,t,c}$ è un predittore lineare latente che include effetti per età, periodo e interazioni causa-periodo.

3. Inferenza Bayesiana:

   • I parametri sono stimati utilizzando un approccio bayesiano completo con priors non informativi.
   • L'inferenza è condotta tramite l'algoritmo Hamiltonian Monte Carlo (HMC) implementato in Stan, permettendo di quantificare l'incertezza sia sulla variabilità stocastica futura che sull'incertezza dei parametri.
   • Vengono utilizzati processi random walk (RW2 per AP, RW1 per LC) per modellare la dinamica temporale e garantire la stabilità delle stime.

Contributi Chiave

• Coerenza Strutturale: Il modello garantisce che la somma delle morti per causa sia esattamente uguale al totale delle morti, preservando la coerenza sia nei punti stimati che negli intervalli di incertezza.
• Flessibilità Demografica: Permette di catturare pattern demografici interpretabili (effetti età, periodo e coorte) sia sul livello della mortalità totale che sulla composizione delle cause.
• Gestione dell'Incertezza Unificata: Fornisce distribuzioni predittive congiunte per il totale e le cause, evitando la necessità di introdurre bande di incertezza post-hoc che potrebbero non essere coerenti.
• Integrazione di Modelli Esistenti: Estende i classici modelli AP e LC in un framework unificato per dati composizionali senza bisogno di trasformazioni complesse (come log-ratio) che possono distorcere l'interpretazione.

Risultati Empirici

L'analisi è stata condotta sui dati della Human Mortality Database per Stati Uniti e Francia (1979-2023), suddivisi per sesso e raggruppati in 6 macro-categorie di cause (es. malattie cardiovascolari, neoplasie, infettive, esterne). È stata utilizzata una valutazione out-of-sample con un' finestre di 15 anni.

1. Accuratezza Predittiva:

   • La specifica DMP-LC (Dirichlet-Multinomial-Poisson con struttura Lee-Carter) ha mostrato le prestazioni migliori per la mortalità totale in entrambi i paesi e per entrambi i sessi, superando sia il modello LC classico (fatto causa per causa) che l'approccio CoDa (Compositional Data Analysis).
   • Per le cause specifiche, i modelli DMP (sia AP che LC) sono stati sistematicamente tra i migliori o secondi migliori, mantenendo la coerenza interna.
   • Il modello LC classico, sebbene competitivo su singole cause, fallisce nel garantire la coerenza con il totale. Il modello CoDa ha mostrato errori elevati sulla mortalità totale quando valutato in termini di tassi.

2. Stabilità e Coerenza:

   • Le proiezioni DMP-LC hanno mostrato traiettorie stabili e realistiche, con intervalli di credibilità che si espandono appropriatamente con l'orizzonte temporale.
   • Il modello DMP-AP ha mostrato una maggiore instabilità nelle proiezioni a lungo termine (specialmente in Francia per le donne), suggerendo che la struttura Lee-Carter (con un unico indice temporale latente) cattura meglio le tendenze secolari dominanti.

3. Confronto tra Modelli:

   • Mentre alcuni metodi benchmark (come CoDa) possono eccellere su singole cause specifiche, non offrono la combinazione di accuratezza sul totale, decomposizione coerente e un'unica distribuzione predittiva congiunta offerta dal framework bayesiano coerente.

Significato e Implicazioni

Il lavoro rappresenta un passo significativo verso un framework statistico unificato per la previsione della mortalità.

• Per la Policy Sanitaria: Permette di monitorare l'evoluzione delle cause di morte con la certezza che le proiezioni siano demograficamente plausibili, essenziale per l'allocazione delle risorse e la pianificazione degli interventi.
• Per la Gestione del Rischio Longevità: Offre agli attuari strumenti robusti per valutare il rischio di longevità e la sostenibilità dei sistemi pensionistici, fornendo stime di incertezza ben calibrate sia per il totale che per le cause.
• Metodologico: Dimostra l'efficacia dell'integrazione di modelli gerarchici bayesiani con la struttura composizionale dei dati di mortalità, superando i limiti dei modelli tradizionali applicati in modo isolato.

In sintesi, il framework DMP, e in particolare la sua variante basata su Lee-Carter, offre il miglior compromesso tra accuratezza, coerenza strutturale e quantificazione dell'incertezza per le proiezioni della mortalità per cause specifiche.