A Dirichlet-Multinomial-Poisson framework for the coherent analysis and forecast of cause-specific mortality

1. Problemstellung und Motivation

Die traditionelle Modellierung von alters- und ursachenspezifischen Sterblichkeitsraten erfolgt häufig separat für jede Todesursache (z. B. mittels des Lee-Carter-Modells). Ein zentrales statistisches und demografisches Problem dabei ist die Inkohärenz: Wenn die Vorhersagen für einzelne Todesursachen unabhängig voneinander erstellt werden, kann die Summe der prognostizierten Todesfälle durch spezifische Ursachen nicht mit der prognostizierten Gesamtsterblichkeit der Bevölkerung übereinstimmen.

Dies führt zu:

• Demografischen Inkonsistenzen: Die Summe der Teilprognosen weicht von der Gesamtzahl der Todesfälle ab.
• Fehlinterpretationen: Für die Gesundheitspolitik und die Versicherungsmathematik sind inkonsistente Langzeitprojektionen unbrauchbar, da sie unrealistische Szenarien erzeugen (z. B. pessimistische Vorhersagen, die die Ressourcenplanung verzerren).
• Statistische Herausforderungen: Todesursachen sind per Definition mutually exclusive (sich gegenseitig ausschließend) und collectively exhaustive (erschöpfend). Ihre Zusammensetzung (Komposition) erfordert Modelle, die diese Struktur respektieren, ohne auf komplexe Transformationen zurückgreifen zu müssen.

2. Methodik: Das Dirichlet-Multinomial-Poisson (DMP) Framework

Die Autoren entwickeln ein hierarchisches probabilistisches Modell, das die Gesamtsterblichkeit und die Verteilung der Todesfälle auf die Ursachen gleichzeitig modelliert. Das Modell basiert auf drei Hauptkomponenten:

A. Hierarchische Struktur

Das Modell behandelt sowohl die Gesamtzahl der Todesfälle als auch die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer spezifischen Todesursache als stochastische Größen:

1. Gesamtzahl der Todesfälle ($Y_{a,t}$): Die Gesamtzahl der Todesfälle in einer Altersgruppe $a$ und Periode $t$ folgt einer Poisson-Verteilung.
   $$Y_{a,t} \sim \text{Poisson}(E_{a,t} m_{a,t})$$
   wobei $E_{a,t}$ die Exposition (Personenjahre) und $m_{a,t}$ die Gesamtsterblichkeitsrate ist.
2. Verteilung auf Ursachen: Bedingt auf die Gesamtzahl $Y_{a,t}$ folgen die counts der einzelnen Todesursachen $Y_{a,t,c}$ einer Multinomial-Verteilung.
3. Wahrscheinlichkeiten der Ursachen: Der Vektor der Wahrscheinlichkeiten für die Todesursachen $\gamma_{a,t}$ folgt einer Dirichlet-Verteilung. Dies gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeiten auf dem Simplex liegen (Summe = 1) und die Kompositionalität erhalten bleibt.

Das resultierende Dirichlet-Multinomial-Poisson (DMP)-Modell erlaubt eine Überdispersion (Overdispersion) in den Daten, was für Sterblichkeitsdaten typisch ist.

B. Modellierung der Trends (AP und LC)

Um Alters- und Periodeneffekte abzubilden, werden zwei Varianten innerhalb des DMP-Rahmens betrachtet:

• Alter-Periode (AP) Modell:
  • Die Log-Rate der Gesamtsterblichkeit wird als additive Funktion von Alter und Periode modelliert: $\log m_{a,t} = \nu_0 + \delta_a + \pi_t$.
  • Die Log-Odds der Ursachenwahrscheinlichkeiten ($\eta_{a,t,c}$) werden ebenfalls durch Alter- und Periodeneffekte ($\zeta_{a,c}, \lambda_{t,c}$) bestimmt.
  • Die Parameter werden durch zweite Ordnung Gaußsche Random Walks (RW2) geglättet, um Überanpassung zu vermeiden und glatte demografische Übergänge zu erzwingen.
• Lee-Carter (LC) Modell:
  • Die Log-Rate der Gesamtsterblichkeit folgt dem klassischen LC-Ansatz: $\log m_{a,t} = \nu_0 + \delta_a + \beta_a \kappa_t$.
  • Der Periodeneffekt $\kappa_t$ wird als erster Ordnung Random Walk (RW1) modelliert.
  • Der Periodeneffekt $\kappa_t$ wird auch in die Ursachenwahrscheinlichkeiten integriert ($\eta_{a,t,c} = \phi_{0,c} + \zeta_{a,c} + \vartheta_c \kappa_t$), um systematische Verschiebungen der Todesursachenverteilung über die Zeit zu erfassen.

C. Bayessche Inferenz

Die Parameterschätzung erfolgt mittels vollständiger Bayesscher Analyse unter Verwendung von Hamiltonian Monte Carlo (HMC) (implementiert in Stan).

• Vorteil: Dies ermöglicht die direkte Quantifizierung der Unsicherheit für sowohl die Gesamtsterblichkeit als auch die Ursachenverteilung.
• Kohärenz: Da das Modell gemeinsam (jointly) geschätzt wird, sind die Unsicherheitsbänder für die Summe und die Teile automatisch konsistent (kohärent).

3. Daten und Evaluierung

• Datenquelle: Human Mortality Database (HMD) und Human Cause-of-death Data series (HCD).
• Zeitraum: 1979 bis 2023.
• Länder: USA und Frankreich.
• Aufteilung: Daten wurden nach Geschlecht und Altersgruppen (5-Jahres-Schritte) aufgeschlüsselt. Todesursachen wurden in 6 Hauptkategorien gruppiert (Infektiöse Krankheiten, Neoplasien, Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Atemwegserkrankungen, Externe Ursachen, Sonstige).
• Evaluierungsmethode: Rolling 15-Jahres-Out-of-Sample-Test. Die letzten 15 Jahre dienten als Testset, die vorherigen Jahre zum Training.
• Vergleichsmodelle:
  1. Standard Lee-Carter (LC) Modell, separat für jede Ursache gefittet.
  2. Compositional Data Analysis (CoDa) Ansatz (basierend auf Kjærgaard et al., 2019), der auf transformierten Lebensdauertabellen operiert.

4. Ergebnisse

Die empirische Analyse zeigt folgende zentrale Befunde:

• Gesamtsterblichkeit (Total Mortality):

  • Das DMP-LC-Modell erzielte in den meisten Fällen die niedrigsten Fehlerwerte (RMSE und MAE) sowohl für die In-Sample- als auch für die Out-of-Sample-Prognosen der Gesamtsterblichkeit in beiden Ländern und für beide Geschlechter.
  • Das DMP-AP-Modell war ebenfalls wettbewerbsfähig, zeigte aber bei Frankreich (insbesondere für Frauen) eine instabilere Extrapolation über den Prognosehorizont.
  • Das klassische, separat gefittete LC-Modell war oft weniger genau als die kohärenten DMP-Varianten, was auf den Vorteil der gemeinsamen Schätzung und Glättung hindeutet.
  • CoDa-Modelle zeigten bei der Prognose von Raten (rates) oft deutlich höhere Fehler, da sie primär für die Modellierung von Anteilen in Lebensdauertabellen (Life-table geometry) konzipiert sind.

• Ursachenspezifische Sterblichkeit (Cause-Specific Mortality):

  • Die DMP-Modelle (insbesondere DMP-LC) waren systematisch unter den Top-Performern für viele Hauptursachen (z. B. Herz-Kreislauf, Neoplasien), ohne dabei die Kohärenz zu verlieren.
  • Es gab Fälle, in denen CoDa oder das separate LC-Modell für einzelne Ursachen bessere Fehlerwerte lieferten. Allerdings ging dies oft auf Kosten der Gesamtgenauigkeit oder der internen Konsistenz.
  • Ein entscheidender Punkt ist, dass separate Modelle keine Garantie dafür bieten, dass die Summe der Ursachenprognosen der Gesamtprognose entspricht.

• Unsicherheitsquantifizierung:

  • Das DMP-Framework liefert natürliche, kohärente Unsicherheitsbänder. Die Unsicherheit wächst mit dem Prognosehorizont angemessen an.
  • Im Gegensatz dazu werden bei separaten Modellen Unsicherheitsbänder oft nachträglich hinzugefügt und propagieren nicht alle Unsicherheitsquellen (Parameter- und Prozessunsicherheit) einheitlich für Summe und Teile.

5. Schlüsselerkenntnisse und Bedeutung

1. Kohärenz durch Konstruktion: Der größte methodische Fortschritt ist die Gewährleistung der Kohärenz zwischen Gesamtsterblichkeit und ursachenspezifischen Raten durch die gemeinsame probabilistische Modellierung (Dirichlet-Multinomial-Poisson). Dies eliminiert das Problem der inkonsistenten Summen.
2. Überlegenheit des DMP-LC-Ansatzes: Die Kombination aus Lee-Carter-Struktur für die Gesamtsterblichkeit und Dirichlet-Regression für die Ursachenverteilung erwies sich als robusteste Methode. Sie nutzt den dominanten zeitlichen Trend (Periodeneffekt) effizient, um Stärke über Altersgruppen zu „borgen" (borrowing strength).
3. Praktische Relevanz: Für die Gesundheitspolitik und das Risikomanagement (z. B. in der Altersvorsorge) ist es entscheidend, nicht nur die Gesamtsterblichkeit, sondern auch die Zusammensetzung der Todesursachen verlässlich und konsistent zu prognostizieren. Inkonsistente Vorhersagen können zu Fehlallokation von Ressourcen führen.
4. Bayesscher Ansatz: Die Verwendung von HMC ermöglicht eine umfassende Unsicherheitsanalyse, die sowohl die stochastische Variabilität zukünftiger Todesfälle als auch die Parameterunsicherheit integriert.

Fazit:
Das Paper stellt einen bedeutenden Schritt hin zu einem einheitlichen statistischen Rahmenwerk für die Sterblichkeitsprognose dar. Es beweist, dass komplexe demografische Anforderungen (Kohärenz, Kompositionalität) durch moderne hierarchische Bayessche Modelle effizient gelöst werden können, ohne dabei an Prognosegenauigkeit zu verlieren. Das DMP-LC-Modell bietet einen optimalen Kompromiss zwischen Genauigkeit, Kohärenz und der Fähigkeit, plausible Unsicherheitsintervalle für sowohl aggregierte als auch disaggregierte Szenarien zu liefern.