A Dirichlet-Multinomial-Poisson framework for the coherent analysis and forecast of cause-specific mortality

1. Problématique

La modélisation et la projection séparées des taux de mortalité par cause de décès conduisent souvent à des prévisions incohérentes. Le problème fondamental réside dans le fait que la somme des décès par cause doit obligatoirement correspondre au nombre total de décès observés dans une population. Les approches traditionnelles, comme le modèle de Lee-Carter appliqué indépendamment à chaque cause, violent cette contrainte démographique de base. Cela génère des projections à long terme peu plausibles (par exemple, une somme des causes dépassant la mortalité totale ou s'en écartant significativement), ce qui compromet leur utilité pour la planification des politiques de santé publique et la gestion des risques actuariels.

De plus, les causes de décès forment une structure compositionnelle (mutuellement exclusives et collectivement exhaustives). Une modélisation indépendante ignore cette dépendance structurelle, ce qui peut produire des résultats incohérents et des bandes d'incertitude mal calibrées.

2. Méthodologie : Le cadre Dirichlet-Multinomial-Poisson (DMP)

Les auteurs proposent un cadre probabiliste hiérarchique unifié, le modèle Dirichlet-Multinomial-Poisson (DMP), qui traite à la fois le nombre total de décès et la répartition de ces décès entre les différentes causes comme des variables aléatoires.

Structure du modèle

Le modèle repose sur une décomposition hiérarchique en deux étapes conditionnelles :

1. Le nombre total de décès ($Y_{a,t}$) :
   Pour un groupe d'âge $a$ et une année $t$, le nombre total de décès est modélisé par une distribution de Poisson :
   $$Y_{a,t} \sim \text{Poisson}(E_{a,t} m_{a,t})$$
   Où $E_{a,t}$ est l'exposition au risque et $m_{a,t}$ est le taux de mortalité total. La structure de $m_{a,t}$ est définie soit par un modèle Âge-Période (AP), soit par un modèle Lee-Carter (LC).

2. La répartition par cause ($Y_{a,t,c}$) :
   Conditionnellement au nombre total de décès $Y_{a,t}$, le vecteur des décès par cause suit une distribution Multinomiale, dont les probabilités sont tirées d'une distribution Dirichlet. Cela permet de capturer la surdispersion et la nature compositionnelle des données :
   $$(Y_{a,t,1}, \dots, Y_{a,t,C}) \mid Y_{a,t} \sim \text{Multinomial}(Y_{a,t}, \boldsymbol{\gamma}_{a,t})$$
   $$\boldsymbol{\gamma}_{a,t} \sim \text{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha}_{a,t})$$
   Où $\boldsymbol{\gamma}_{a,t}$ représente le vecteur des proportions de décès par cause. Ces proportions sont modélisées via une fonction softmax appliquée à un prédicteur linéaire latent $\eta_{a,t,c}$, qui intègre également des effets d'âge et de période (ou d'interaction âge-période).

Composantes clés

• Cohérence par construction : Puisque le modèle génère d'abord le total, puis le répartit, la somme des décès par cause est toujours égale au total. La cohérence est donc garantie mathématiquement, et non imposée a posteriori.
• Modélisation des tendances :
  • Le modèle AP-DMP utilise des marches aléatoires d'ordre 2 (RW2) pour lisser les effets d'âge et de période.
  • Le modèle LC-DMP utilise un facteur temporel latent commun ($\kappa_t$) pour piloter à la fois le niveau global de mortalité et les réallocations systématiques entre les causes (via des paramètres de charge $\vartheta_c$).
• Inférence Bayésienne : L'estimation des paramètres est réalisée via une approche bayésienne complète utilisant l'algorithme Hamiltonian Monte Carlo (HMC) implémenté dans Stan. Cela permet de quantifier l'incertitude de manière naturelle, intégrant à la fois la variabilité stochastique future et l'incertitude des paramètres.

3. Contributions Clés

1. Cadre Unifié : Introduction d'un modèle génératif unique qui traite simultanément le niveau de la mortalité totale et sa composition, résolvant le problème de l'incohérence des projections.
2. Gestion de l'Incertitude : Contrairement aux méthodes classiques où les bandes d'incertitude sont souvent ajoutées a posteriori, le cadre DMP fournit des intervalles de crédibilité cohérents pour les totaux et les causes simultanément, en respectant les dépendances entre les causes.
3. Flexibilité et Interprétabilité : Le modèle permet d'incorporer des structures complexes (Âge-Période, Lee-Carter) tout en maintenant une interprétation démographique claire des tendances.
4. Validation Empirique Rigoureuse : Application et comparaison sur des données réelles des États-Unis et de la France (1979-2023), avec une évaluation hors échantillon (rolling 15-year) comparant le DMP aux modèles Lee-Carter séparés et aux méthodes d'analyse de données compositionnelles (CoDa).

4. Résultats

L'étude comparative sur les données des États-Unis et de la France (par sexe) révèle les points suivants :

• Performance sur la mortalité totale : Le modèle DMP-LC (Dirichlet-Multinomial-Poisson couplé à Lee-Carter) surpasse systématiquement les autres modèles (DMP-AP, Lee-Carter séparé, CoDa) en termes d'erreurs de prévision (RMSE et MAE) pour la mortalité totale, tant pour les hommes que pour les femmes. Il capture mieux les tendances séculaires dominantes.
• Performance par cause : Bien que certaines méthodes concurrentes (comme CoDa ou Lee-Carter séparé) puissent obtenir de meilleurs résultats pour des causes spécifiques isolées, elles échouent à maintenir une cohérence globale. Le modèle DMP-LC offre un compromis optimal, étant parmi les meilleurs pour la plupart des causes majeures (maladies cardiovasculaires, néoplasmes, etc.) tout en garantissant la cohérence du système.
• Stabilité et Incertitude : Les prévisions du modèle DMP-LC sont stables sur l'horizon de prévision. Les bandes d'incertitude s'élargissent de manière appropriée avec le temps, reflétant l'incertitude croissante sans produire de dérive incohérente. En revanche, le modèle DMP-AP montre parfois une instabilité dans l'extrapolation des niveaux pour la France.
• Comparaison avec CoDa : Bien que les méthodes CoDa soient cohérentes par construction dans l'espace des compositions, elles performant souvent moins bien sur les taux de mortalité bruts et ne fournissent pas la même intégration probabiliste entre le niveau total et la composition.

5. Signification et Conclusion

Ce travail représente une avancée significative pour la démographie et l'actuaire. Il démontre qu'il est possible de concilier la précision prédictive et la cohérence démographique grâce à une modélisation hiérarchique bayésienne.

• Pour la politique de santé : Le modèle permet de suivre l'évolution des causes de décès avec une fiabilité accrue, essentiel pour l'allocation des ressources et la prévention.
• Pour la gestion des risques : Il offre une base solide pour la gestion des risques de longévité et les projections de régimes de retraite, en évitant les scénarios incohérents qui pourraient fausser les calculs de solvabilité.
• Limites et Perspectives : L'estimation bayésienne complète est coûteuse en calcul. Les auteurs suggèrent des extensions futures, telles que la variation du paramètre de concentration de Dirichlet selon l'âge ou l'introduction de structures de cohorte, pour améliorer encore la flexibilité du modèle.

En résumé, le cadre DMP, et particulièrement sa version couplée à Lee-Carter (DMP-LC), s'impose comme une méthode robuste pour produire des projections de mortalité par cause qui sont à la fois précises, cohérentes et dotées d'une quantification d'incertitude fiable.