Koopman-based Estimation of Lyapunov Functions: Theory on a Reproducing Kernel Hilbert Space

Titolo

Stima delle Funzioni di Lyapunov basata sull'Operatore di Koopman: Teoria su uno Spazio di Hilbert a Kernel Riproduttivo (RKHS)

1. Il Problema

I sistemi non lineari sono onnipresenti nell'ingegneria, ma spesso mancano di modelli accurati derivabili dai primi principi. L'operatore di Koopman offre una descrizione lineare globale di tali sistemi non lineari, permettendo l'analisi e il controllo tramite metodi di ottimizzazione convessa basati sui dati. Tuttavia, esistono sfide fondamentali:

• Relazione Spettro-Stabilità: Per i sistemi lineari finiti, la stabilità asintotica è garantita se il raggio spettrale della matrice è inferiore a 1. Per l'operatore di Koopman (che agisce su spazi di funzioni infinito-dimensionali), la relazione tra lo spettro e la stabilità non è banale e dipende dalla scelta dello spazio delle funzioni e del kernel. In spazi standard (es. $L^2$), lo spettro può rimanere all'interno del disco unitario anche per sistemi instabili o viceversa, rendendo difficile l'uso dell'operatore per l'analisi di stabilità.
• Costruzione di Funzioni di Lyapunov: Non esiste una teoria universale per costruire funzioni di Lyapunov basate sui dati per sistemi non lineari usando l'operatore di Koopman. La sfida è trovare un metodo sistematico per stimare queste funzioni garantendo la stabilità.

2. Metodologia

Gli autori propongono un quadro teorico e computazionale basato su tre pilastri principali:

A. Spazio di Hilbert a Kernel Riproduttivo (RKHS) e Kernel Lineare-Radiale

Per colmare il divario tra la teoria spettrale e la stabilità, gli autori definiscono l'operatore di Koopman su uno spazio RKHS specifico, utilizzando un kernel prodotto lineare-radiale ($\kappa = \kappa_{-} \cdot \kappa_{=}$):

• $\kappa_{-}(x, x') = x \cdot x'$ (kernel lineare): Cattura il comportamento locale vicino all'equilibrio (origine).
• $\kappa_{=}(x, x') = \rho(|x - x'|)$ (kernel radiale di Wendland): Garantisce la regolarità globale e la well-definedness dell'operatore.
  Questa scelta permette di dimostrare che, se l'origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile, il raggio spettrale dell'operatore di Koopman $A$ è strettamente inferiore a 1 ($r(A) < 1$).

B. Formulazione come Equazione di Lyapunov Algebrica Operazionale (ALE)

Il problema di trovare una funzione di Lyapunov $v(x)$ con un tasso di decadimento fissato $w(x)$ viene riformulato nello spazio RKHS:

• Sia $w(x)$ rappresentata come una forma quadratica di kernel definita da un operatore positivo $Q$ nello spazio degli operatori di Hilbert-Schmidt (HS).
• La funzione di Lyapunov $v(x)$ è cercata come una "forma quadratica di kernel" definita da un operatore positivo $P$: $v(x) = \langle \kappa(x, \cdot), P\kappa(x, \cdot) \rangle$.
• La relazione tra $v$ e $w$ porta all'Equazione di Lyapunov Algebrica Operazionale (Operator ALE):
  $$APA^* - P = -Q$$
  Dove $A^*$ è l'aggiunto dell'operatore di Koopman.

C. Stima Basata sui Dati (kEDMD e KRR)

Poiché l'operatore $A$ è sconosciuto, viene stimato dai dati:

1. kEDMD (Kernel Extended Dynamic Mode Decomposition): Utilizza un set di dati per approssimare l'operatore di Koopman $\hat{A}$ risolvendo un problema di regressione sui kernel.
2. Kernel Ridge Regression (KRR): Utilizzato per stimare l'operatore $Q$ che definisce il tasso di decadimento $w(x)$, assumendo che $w$ sia una somma di quadrati di funzioni nello spazio.
3. Risoluzione Numerica: L'equazione ALE viene discretizzata e risolta come un'equazione di Lyapunov matriciale per ottenere i coefficienti dell'operatore stimato $\hat{P}$, da cui si ricava la funzione di Lyapunov stimata $\hat{v}(x)$.

3. Contributi Chiave

1. Teorema di Esistenza e Unicità: Gli autori dimostrano che, sotto la condizione che il raggio spettrale di $A$ sia inferiore a 1, l'equazione ALE ha una soluzione unica $P$ nello spazio degli operatori di Hilbert-Schmidt. Questa soluzione è data da una serie infinita convergente: $P = \sum_{t=0}^{\infty} A^{*t} Q A^t$.
2. Legame Teorico Spettro-Stabilità: Viene formalizzato il legame tra la stabilità asintotica del punto di equilibrio e la posizione dello spettro dell'operatore di Koopman all'interno del disco unitario complesso, utilizzando il kernel lineare-radiale.
3. Limiti di Errore: Vengono stabiliti limiti di errore rigorosi basati sulla teoria dell'apprendimento statistico. Si dimostra che l'errore nella stima della funzione di Lyapunov è proporzionale all'errore di apprendimento dell'operatore di Koopman e dell'operatore di decadimento. L'errore tende a zero al crescere della quantità di dati.
4. Validazione Numerica: Applicazione del metodo su un sistema non lineare non polinomiale (equazione di Liénard), dimostrando la capacità di recuperare la forma della funzione di Lyapunov vera, anche in assenza di un modello analitico.

4. Risultati

• Analisi Spettrale: Nel caso di studio (modello di Brusselator e equazione di Liénard), lo spettro stimato dell'operatore di Koopman è stato confinato all'interno del disco unitario, confermando la stabilità asintotica e la validità dell'approccio.
• Precisione della Stima: La funzione di Lyapunov stimata $\hat{v}(x)$ ha catturato con successo la forma delle linee di contorno della funzione vera $v(x)$ ottenuta tramite simulazione.
• Comportamento Non Lineare: Sebbene la funzione appaia "ellissoidale" vicino all'origine (comportamento lineare), il metodo ha rilevato correttamente le deviazioni non lineari significative lontano dall'origine (ad esempio, valori molto più alti rispetto all'approssimazione lineare in punti specifici), dimostrando la capacità di gestire la non linearità globale.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro rappresenta un passo fondamentale verso una teoria del controllo basata sui dati per sistemi non lineari:

• Rigore Teorico: Trasforma l'uso dell'operatore di Koopman da un "arte pratica" a un quadro matematico rigoroso, fornendo garanzie di stabilità basate sulla teoria spettrale.
• Universalità: Offre un metodo generico per costruire funzioni di Lyapunov senza bisogno di conoscere il modello dinamico esatto, richiedendo solo dati di traiettoria.
• Futuro: Apre la strada alla stima dei domini di attrazione per sistemi con stabilità non globale e allo sviluppo di osservatori e controllori non lineari basati su Koopman con garanzie di stabilità formali.

In sintesi, il paper stabilisce un ponte solido tra la teoria degli operatori lineari su spazi di funzioni infinite e l'analisi di stabilità non lineare pratica, rendendo possibile l'uso di dati grezzi per la sintesi di controllori stabili.