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Koopman-based Estimation of Lyapunov Functions: Theory on a Reproducing Kernel Hilbert Space

本文在先前关于再生核希尔伯特空间（RKHS）中 Koopman 算子谱与稳定性关系研究的基础上，提出了一种基于算子代数 Lyapunov 方程和核扩展动态模态分解（kEDMD）的 Lyapunov 函数估计方法，并基于统计学习理论建立了其误差界。

原作者： Wentao Tang, Xiuzhen Ye

发布于 2026-03-03

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CC BY 4.0

原作者： Wentao Tang, Xiuzhen Ye

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

这篇论文讲述了一个非常有趣的故事：如何给那些**“脾气古怪、难以预测的非线性系统”（比如复杂的化学反应、湍流、甚至生物种群变化）找一把“安全锁”**（李雅普诺夫函数），以证明它们最终会稳定下来，不会失控。

为了让你更容易理解，我们可以把这篇论文的核心思想想象成**“给混乱的舞蹈编排一套标准的动作”**。

1. 背景：混乱的舞者与“照相机”

想象有一个在舞台上疯狂跳舞的舞者（代表非线性系统）。他的动作千变万化，忽快忽慢，忽左忽右，完全不符合简单的物理公式。如果你想预测他下一秒在哪，或者证明他最终会停下来，这非常困难。

传统的数学方法就像试图用直尺去测量波浪，很难奏效。

这时候，科学家发明了一种神奇的**“照相机”，叫做Koopman 算子（Koopman Operator）**。

它的作用：它不看舞者本人（状态），而是看舞者身上的**“影子”**（函数）。
它的魔法：虽然舞者的动作是非线性的（乱跳），但如果你用这架照相机去拍他影子的变化，你会发现影子的变化竟然遵循简单的线性规律（像直线一样有规律）。
比喻：这就好比虽然你在操场上乱跑，但如果你站在高处看你的影子在墙上的移动，影子的移动轨迹可能是一条完美的直线。

2. 核心难题：影子的“稳定性”是个谜

虽然 Koopman 算子把乱跳变成了直线运动，但这里有个大坑：

问题：我们怎么知道这个“影子”最终会停下来（系统稳定）？
过去的困境：以前，如果影子的变化规律（谱）看起来像在一个圆圈里，我们就认为系统稳定。但作者发现，这取决于你选什么样的“镜头”（核函数）。如果镜头选得不好，哪怕舞者已经停下来了，影子看起来还在无限放大，导致我们误判系统不稳定。

3. 作者的突破：特制的“广角 + 微距”镜头

为了解决这个问题，作者（Tang 和 Ye）在前期的工作中发明了一种特制的镜头，叫做**“线性 - 径向乘积核”（Linear-Radial Product Kernel）**。

比喻：
- 普通镜头（径向核）：只看距离，不管方向。就像只看舞者离舞台中心有多远，却忽略了他是在转圈还是直冲。
- 特制镜头（线性 - 径向核）：既看距离，又看方向（线性部分）。
效果：使用这种特制镜头，作者证明了：只要舞者最终会停在舞台中心（原点稳定），那么他的影子（Koopman 算子）就一定会被限制在一个“安全圆圈”（单位圆盘）内，绝不会跑出去。
- 这就好比：只要人最终会停下来，那么用这个特制镜头拍到的影子，其能量就一定会衰减，不会无限膨胀。

4. 论文的主角：寻找“能量计”（李雅普诺夫函数）

有了这个稳定的“影子规律”，作者接下来要做一件大事：制造一个“能量计”，也就是李雅普诺夫函数（Lyapunov Function）。

什么是李雅普诺夫函数？
- 想象它是一个**“能量表”**。只要舞者在动，这个表上的数值就很高；随着舞者慢慢停下来，数值越来越低，直到变成 0。
- 如果能找到这样一个表，且它一直在下降，我们就100% 确定系统最终会稳定，不会发疯。
作者的方法：
- 他们利用刚才那个“特制镜头”拍到的规律，建立了一个**“算子代数方程”**（听起来很吓人，其实就是解一个超级复杂的数学方程）。
- 这个方程的解，就是我们要找的“能量表”（李雅普诺夫函数）。
- 关键点：因为作者证明了影子在“安全圆圈”里，所以这个方程一定有解，而且只有一个解。这就像你解一个方程，以前可能无解或多解，现在保证有且只有一个正确答案。

5. 实战演练：用数据“猜”出答案

在现实生活中，我们往往没有舞者的完整剧本（没有精确的数学模型），只有摄像机拍下的一堆视频片段（数据）。

怎么做？
- 作者使用了一种叫 kEDMD 的技术（基于核的扩展动态模态分解）。
- 比喻：这就好比给 AI 看了一堆舞者跳舞的视频，让 AI 自己去学习那个“特制镜头”的规律，并尝试解出那个“能量表”的公式。
结果如何？
- 作者证明了，只要数据量足够多，AI 算出来的“能量表”和真实的“能量表”之间的误差，会随着数据增加而越来越小，最终趋近于零。
- 在论文最后的例子中，他们用一个复杂的化学振荡模型（Brusselator）做测试，发现 AI 算出来的“能量地形图”和真实情况非常吻合，成功画出了系统稳定的“安全区”。

总结：这篇论文到底说了什么？

旧问题：以前用 Koopman 算子分析系统稳定性，就像用一把不准确的尺子量东西，容易出错。
新工具：作者发明了一把**“特制尺子”**（线性 - 径向核），保证只要系统稳定，尺子读数就一定在安全范围内。
新成果：利用这把尺子，他们设计了一套**“自动绘图程序”。只要给程序看一些数据，它就能自动画出系统的“安全能量图”**（李雅普诺夫函数）。
意义：这为控制那些复杂的、没有数学模型的机器（如自动驾驶、化工反应堆）提供了一把**“理论上的安全锁”**。以前我们只能凭经验猜测系统会不会失控，现在有了这套理论，我们可以从数据中严谨地证明它是安全的。

一句话概括：
作者给混乱的非线性系统装上了一副**“特制眼镜”，让我们能透过数据，清晰地看到系统内部隐藏的“稳定规律”，并据此自动计算出证明系统安全的“数学证书”**。

1. 研究背景与问题 (Problem)

非线性系统建模挑战：非线性系统在工程中普遍存在，但往往缺乏基于第一性原理的精确模型。Koopman 算子提供了一种将非线性系统转化为无限维线性系统的方法，具有“全局线性化”的潜力，且可通过数据驱动（如扩展动态模态分解，EDMD）进行高效学习。
稳定性分析的理论缺口：尽管 Koopman 算子在控制领域应用广泛，但将其用于稳定性分析（特别是李雅普诺夫稳定性）仍缺乏严谨的理论框架。
- 核心难点：Koopman 算子的谱（Spectrum）与系统平衡点的稳定性之间的关系并不直观。在传统的有限维矩阵中，谱半径小于 1 意味着渐近稳定；但在无限维函数空间（如再生核希尔伯特空间，RKHS）中，谱的性质高度依赖于核函数的选择。
- 现有局限：若核函数选择不当（例如仅使用径向核），Koopman 算子的谱半径可能始终大于等于 1，无法反映系统的稳定性，导致无法构建通用的基于 Koopman 的控制理论。
具体目标：如何在 RKHS 框架下，利用 Koopman 算子的谱稳定性关系，从数据中估计出满足特定衰减率（Decay Rate）的李雅普诺夫函数，并建立误差界限。

2. 方法论 (Methodology)

本文提出了一套基于**再生核希尔伯特空间（RKHS）和线性 - 径向乘积核（Linear-Radial Product Kernel）**的理论框架与算法流程：

2.1 理论基础：RKHS 与谱 - 稳定性关系

核函数选择：作者采用了一种特殊的线性 - 径向乘积核 $\kappa = \kappa_{-} \kappa_{=}$ $κ = κ_{-} κ_{=}$ 。
- $\kappa_{-}$ 是线性核（捕捉平衡点附近的局部线性行为）。
- $\kappa_{=}$ 是 Wendland 径向核（捕捉全局正则性，使 RKHS 等价于 Sobolev 空间）。
谱 - 稳定性定理：基于先前的工作，证明了当原点为渐近稳定平衡点时，在该特定 RKHS 上定义的 Koopman 算子 $A$ 的谱半径 $r(A) < 1$ 。这建立了算子谱与系统稳定性之间的严格联系，解决了传统核函数无法区分稳定性的问题。

2.2 李雅普诺夫函数的算子化表述

核二次型（Kernel Quadratic Form）：将李雅普诺夫函数 $v(x)$ 表示为 RKHS 上的正算子 $P$ 的二次型：
$v(x) = \langle \kappa(x, \cdot), P\kappa(x, \cdot) \rangle$
算子代数李雅普诺夫方程 (Operator ALE)：
给定衰减率函数 $w(x)$ （同样表示为正算子 $Q$ 的二次型），寻找 $v(x)$ 等价于求解离散时间的算子代数李雅普诺夫方程：
$APA^* - P = -Q$
其中 $A^*$ 是 Koopman 算子的伴随算子。
解的存在唯一性：证明了当 $r(A) < 1$ 时，上述方程存在唯一的解 $P$ ，且该解可以表示为希尔伯特 - 施密特（Hilbert-Schmidt）算子的收敛无穷级数：
$P = \sum_{t=0}^{\infty} A^t Q (A^*)^t$

2.3 数据驱动估计与误差分析

kEDMD (Kernel Extended Dynamic Mode Decomposition)：利用数据样本 $\{(x_j, y_j)\}$ 估计 Koopman 算子 $A$ 的近似值 $\hat{A}$ 。
核岭回归 (KRR)：利用数据估计衰减率函数对应的算子 $Q$ 的近似值 $\hat{Q}$ 。
有限维矩阵方程求解：将无限维的算子方程转化为有限维矩阵方程求解。
- 构造系数矩阵 $\Theta$ （来自 kEDMD）和 $\Gamma$ （核矩阵）。
- 求解矩阵代数李雅普诺夫方程： $\Theta^\top \Gamma^\top \Pi \Gamma \Theta - \Pi = -H$ ，得到李雅普诺夫算子 $\hat{P}$ 的系数矩阵 $\Pi$ 。
误差界限证明：基于统计学习理论，证明了估计的李雅普诺夫函数 $\hat{v}$ 与真实函数 $v$ 之间的希尔伯特 - 施密特范数误差，与 Koopman 算子的学习误差及衰减率函数的逼近误差成正比。在数据量趋于无穷时，误差趋于零。

3. 主要贡献 (Key Contributions)

理论突破：在 RKHS 框架下，利用线性 - 径向乘积核，严格证明了渐近稳定系统的 Koopman 算子谱半径小于 1，填补了 Koopman 谱与稳定性之间理论联系的空白。
算子化李雅普诺夫方程：首次将李雅普诺夫稳定性分析转化为 RKHS 上的算子代数李雅普诺夫方程（Operator ALE），并证明了在谱半径小于 1 的条件下解的存在性与唯一性。
数据驱动算法与误差界：提出了基于 kEDMD 和 KRR 的完整数据驱动估计流程，并基于统计学习理论推导了李雅普诺夫函数估计值的误差上界，为数据驱动的稳定性分析提供了理论保障。
通用性框架：该方法不依赖特定的基函数选择，适用于非多项式非线性系统，为构建通用的数据驱动非线性控制理论奠定了基础。

4. 实验结果 (Results)

案例系统：在 Liénard 方程（一种非多项式非线性系统）上进行了数值验证。
数据生成：生成了 50 条随机初始状态下的轨迹，每条持续 5 个时间单位。
性能表现：
- Koopman 算子学习：学习到的算子能够准确预测系统轨迹，且估计的 Koopman 算子谱被限制在单位圆内（ $r(\hat{A}) < 1$ ），验证了稳定性条件。
- 李雅普诺夫函数估计：
  - 估计出的李雅普诺夫函数 $\hat{v}(x)$ 的等高线图与通过仿真获得的真实李雅普诺夫函数 $v(x)$ 高度吻合。
  - 虽然远离原点处存在一定误差（因为李雅普诺夫函数是累积衰减率），但整体形状和稳定性特征被正确捕捉。
  - 数值对比显示，非线性系统的真实李雅普诺夫函数值（在 $(1,1)$ 处约为 40）显著偏离线性化近似值（约为 19），证明了该方法能有效捕捉非线性特性。

5. 意义与展望 (Significance)

理论意义：本文建立了一个严谨的数学框架，将 Koopman 算子理论从单纯的“数据拟合”提升到了“稳定性分析”的高度。它证明了在合适的函数空间（RKHS）和核函数选择下，Koopman 算子可以像有限维矩阵一样用于严格的稳定性判定。
应用价值：
- 为缺乏精确模型的非线性系统提供了一种**无需模型（Model-free）**的稳定性验证工具。
- 为设计基于 Lyapunov 函数的数据驱动控制器（如模型预测控制 MPC、鲁棒控制）提供了理论支撑。
未来方向：
- 研究非全局渐近稳定情况下的**吸引域（Domain of Attraction）**估计。
- 处理多吸引子系统的稳定性分析。
- 将这一谱 - 稳定性关系进一步推广到非线性观测器设计和更复杂的控制策略中。

总结：该论文通过引入特定的核函数结构，成功解决了 Koopman 算子谱与稳定性脱节的关键理论难题，并提出了一种基于数据、具有严格误差界限的李雅普诺夫函数估计方法，为非线性系统的智能化控制奠定了重要的理论基础。