Koopman-based Estimation of Lyapunov Functions: Theory on a Reproducing Kernel Hilbert Space

1. Problématique

Les systèmes non linéaires sont omniprésents en ingénierie, mais leur modélisation précise à partir des premiers principes est souvent difficile. L'opérateur de Koopman offre une description linéaire globale de ces systèmes non linéaires en agissant sur un espace de fonctions. Cependant, l'utilisation de cet opérateur pour l'analyse de stabilité et le contrôle se heurte à deux défis majeurs :

1. L'élusivité du lien spectre-stabilité : Contrairement aux matrices finies où un rayon spectral inférieur à 1 garantit la stabilité, la relation entre le spectre de l'opérateur de Koopman (généralement infini-dimensionnel) et la stabilité du point d'équilibre dépend fortement du choix de l'espace fonctionnel et du noyau. Un choix inapproprié peut rendre le spectre non informatif (par exemple, un rayon spectral toujours $\ge 1$ même pour un système stable).
2. Construction de fonctions de Lyapunov : Il n'existe pas encore de théorie universelle pour construire des fonctions de Lyapunov basées sur l'opérateur de Koopman à partir de données, ce qui limite les stratégies de contrôle « data-driven » rigoureuses.

L'objectif de cet article est de combler ces lacunes en établissant une relation spectre-stabilité rigoureuse sur un Espace de Hilbert à Noyau Reproduisant (RKHS) et en utilisant cette relation pour estimer des fonctions de Lyapunov à partir de données.

2. Méthodologie

La méthodologie proposée repose sur une approche théorique et algorithmique structurée en plusieurs étapes :

A. Cadre Théorique : RKHS et Noyau Produit Linéaire-Radial

Les auteurs définissent l'opérateur de Koopman $\mathcal{A}$ sur un RKHS $\mathcal{H}_\kappa$. Pour garantir que le spectre de $\mathcal{A}$ reflète la stabilité du système (rayon spectral $r(\mathcal{A}) < 1$ si l'origine est stable), ils utilisent un noyau produit linéaire-radial $\kappa = \kappa_- \kappa_=$ :

• $\kappa_-(x, x') = x \cdot x'$ (noyau linéaire) : Capture le comportement local linéaire près de l'équilibre.
• $\kappa_=(x, x') = \rho(|x - x'|)$ (noyau radial de Wendland) : Garantit la régularité globale de l'espace (équivalent à un espace de Sobolev).
  Cette combinaison permet de prouver que si l'origine est un point d'équilibre asymptotiquement stable, le rayon spectral de l'opérateur de Koopman est strictement inférieur à 1.

B. Formulation de l'Équation de Lyapunov Algébrique Opérationnelle (ALE)

Au lieu de chercher une fonction de Lyapunov scalaire classique, les auteurs la représentent sous la forme d'une « forme quadratique à noyau » :
$$v(x) = \langle \kappa(x, \cdot), P \kappa(x, \cdot) \rangle$$
où $P$ est un opérateur positif sur le RKHS.
Pour un taux de décroissance donné $w(x)$ (également représenté par un opérateur positif $Q$), la fonction de Lyapunov est la solution unique de l'équation de Lyapunov algébrique opérationnelle :
$$\mathcal{A} P \mathcal{A}^* - P = -Q$$
Sous la condition $r(\mathcal{A}) < 1$, la solution $P$ existe, est unique et peut être exprimée comme une série convergente d'opérateurs de Hilbert-Schmidt :
$$P = \sum_{t=0}^{\infty} \mathcal{A}^{*t} Q \mathcal{A}^t$$

C. Estimation à partir de Données (kEDMD et KRR)

Pour les systèmes réels où le modèle $f$ est inconnu, l'opérateur est estimé à partir de données :

1. Estimation de l'opérateur ($\hat{\mathcal{A}}$) : Utilisation de la décomposition modale dynamique étendue par noyau (kEDMD). L'opérateur adjoint $\mathcal{A}^*$ est appris en minimisant l'erreur de régression sur les noyaux.
2. Estimation du taux de décroissance ($\hat{Q}$) : La fonction $w(x)$ est approximée par une somme de carrés de fonctions estimées via la régression ridge à noyau (KRR).
3. Résolution numérique : L'équation ALE est discrétisée en un système matriciel linéaire (Équation de Lyapunov matricielle) pour obtenir les coefficients de l'opérateur estimé $\hat{P}$, et donc la fonction de Lyapunov estimée $\hat{v}(x)$.

3. Contributions Clés

1. Théorème Spectre-Stabilité sur RKHS : Démonstration rigoureuse que, avec un noyau produit linéaire-radial approprié, le rayon spectral de l'opérateur de Koopman est inférieur à 1 si et seulement si le point d'équilibre est asymptotiquement stable. Cela valide l'utilisation de l'opérateur pour l'analyse de stabilité.
2. Théorème de Lyapunov Inverse Opérationnel : Preuve de l'existence et de l'unicité de la solution $P$ (opérateur positif de Hilbert-Schmidt) à l'équation ALE, fournissant une fonction de Lyapunov valide pour le système non linéaire.
3. Bornes d'Erreur Statistiques : Établissement de bornes d'erreur pour l'estimation de la fonction de Lyapunov. Les auteurs prouvent que l'erreur $\|\hat{P} - P\|_{HS}$ est proportionnelle à l'erreur d'apprentissage de l'opérateur de Koopman et de la fonction de décroissance. L'erreur tend vers zéro lorsque la taille de l'échantillon de données augmente.
4. Algorithme Data-Driven : Proposition d'une procédure complète (kEDMD + KRR + Résolution ALE) pour calculer des fonctions de Lyapunov sans connaissance a priori du modèle dynamique.

4. Résultats

L'approche a été validée par une étude numérique sur un système non linéaire non polynomial (l'équation de Liénard) :

• Système : $\dot{x}_1 = x_2$, $\dot{x}_2 = -x_1/(1+x_1^2) - x_2$.
• Données : 50 trajectoires échantillonnées aléatoirement.
• Performance :
  • Le spectre de l'opérateur de Koopman estimé est bien confiné dans le disque unité, confirmant la stabilité.
  • La fonction de Lyapunov estimée $\hat{v}(x)$ reproduit fidèlement la forme de contour de la fonction de Lyapunov « vraie » (calculée par simulation numérique).
  • L'approche capture correctement la non-linéarité du système : bien que la forme globale soit elliptique (comme un système linéaire), les valeurs numériques montrent des écarts significatifs par rapport à une approximation linéaire pure (ex: $v(1,1) \approx 40$ vs $v_{lin}(1,1) \approx 19$), démontrant la capacité de la méthode à modéliser la dynamique globale non linéaire.

5. Signification et Impact

Cet article représente une avancée théorique majeure pour le contrôle des systèmes non linéaires basés sur les données :

• Rigueur Théorique : Il transforme l'approche de l'opérateur de Koopman d'un outil heuristique en un cadre mathématiquement rigoureux pour l'analyse de stabilité, résolvant le problème de la dépendance au noyau.
• Généralité : La méthode ne nécessite pas de modèle polynomial ou de forme spécifique, s'appliquant à des systèmes non linéaires généraux sous des conditions de régularité.
• Fondation pour le Contrôle : En fournissant une méthode fiable pour estimer des fonctions de Lyapunov à partir de données, cette recherche ouvre la voie à la synthèse de contrôleurs robustes et à l'observation d'états pour des systèmes complexes où les modèles physiques sont inaccessibles.
• Perspectives : Les auteurs indiquent que les prochaines étapes incluront l'estimation des bassins d'attraction pour des systèmes non globalement stables et l'extension à des systèmes avec plusieurs attracteurs.