Covers of curves, Ceresa cycles, and Unlikely intersections

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nello studio dei gruppi di Chow e dei gruppi di Griffiths delle varietà abeliane, in particolare focalizzandosi sul ciclo di Ceresa.

• Definizione: Data una curva liscia, proiettiva e geometricamente intera $C$ di genere $g \ge 2$ su un campo di caratteristica zero, e un divisore di grado 1 $e$, il ciclo di Ceresa è definito come:
  $$\text{Cer}(C) := [i_e(C)] - [-1]^*[i_e(C)] \in \text{CH}^1_{\text{hom}}(J)$$
  dove $J$ è la Jacobiana di $C$ e $i_e$ è l'immersione di Abel-Jacobi.
• Stato dell'arte: Ceresa (1983) ha dimostrato che per una curva complessa "molto generale" con $g \ge 3$, il ciclo di Ceresa è non-torsione (ha ordine infinito) modulo equivalenza algebrica. Tuttavia, la costruzione di tali cicli non-torsione è difficile.
• La questione aperta: Si conosce poco sulla varietà $M_g^{\text{tors}}$ (il luogo delle curve con ciclo di Ceresa di torsione). Si sa che contiene il luogo iperellittico e ha al massimo un numero numerabile di componenti irriducibili, ma non è noto se sia l'intero spazio dei moduli o meno per $g \ge 3$.
• Obiettivo del paper: Dimostrare che per famiglie specifiche di rivestimenti ramificati di curve, il ciclo di Ceresa è non-torsione per punti molto generali, e caratterizzare il luogo di torsione come chiuso di Zariski di codimensione positiva.

2. Metodologia e Strategia di Prova

La strategia centrale del paper riduce il problema della torsione del ciclo di Ceresa (un oggetto di dimensione superiore) a un problema di torsione di un punto sulla Jacobiana della curva (un oggetto di dimensione 1).

A. L'Ombra Canonica Relativa (Relative Canonical Shadow)

Gli autori utilizzano un invariante introdotto da Ellenberg, Logan e Srinivasan ([ELS]). Per un rivestimento separabile $\phi: \tilde{C} \to C$ di grado $d$, si definisce l'ombra canonica relativa $D_\phi$ come una classe in $\text{Pic}^0(\tilde{C})$:
$$D_\phi := d(2g_C - 2)R_\phi - \deg(R_\phi)\phi^*(K_C) + 2(dR_\phi - \phi^*\phi^*R_\phi)$$
dove $R_\phi$ è il divisore di ramificazione.

• Proposizione Chiave: Se $D_\phi$ ha ordine infinito, allora il ciclo di Ceresa di $\tilde{C}$ è non-torsione.
• Riduzione: Il problema diventa quindi studiare quando il punto $D_\phi$ (o la sua immagine push-forward sulla Jacobiana) è di torsione.

B. Teoria delle Intersezioni Improbabili (Unlikely Intersections)

Per analizzare la torsione di $D_\phi$ in famiglie al variare dei punti di ramificazione, gli autori applicano teoremi profondi della teoria delle intersezioni improbabili:

1. Teorema di Manin-Mumford-Raynaud: I punti di torsione su una sottovarietà di una varietà abeliana sono contenuti in un'unione finita di traslati di torsione di sottovarietà abeliane.
2. Congettura di Manin-Mumford Relativa (Gao-Habegger): Se una sottovarietà $X$ di uno schema abeliano $\mathcal{A} \to S$ genera $\mathcal{A}$ (nel senso che la chiusura di Zariski dei multipli interi di $X$ è tutto $\mathcal{A}$), allora l'intersezione tra i punti di $X$ e i punti di torsione di $\mathcal{A}$ è contenuta in un chiuso di Zariski di codimensione positiva in $X$, a meno che $\dim X$ non sia sufficientemente grande.
3. Teorema di Masser-Zannier: Caso specifico per fibrati di curve ellittiche, che limita il numero di punti dove due sezioni indipendenti diventano simultaneamente di torsione.

3. Risultati Principali

Il paper presenta quattro teoremi principali che stabiliscono la non-torsione del ciclo di Ceresa in contesti sempre più specifici.

Teorema 1: Rivestimenti Generali di Curve Iperboliche

• Enunciato: Sia $C$ una curva di genere $g \ge 2$. Per un rivestimento ramificato molto generale $\tilde{C} \to C$ (con monodromia fissata in uno spazio di Hurwitz $H_{d,r}(C, \rho)$), il ciclo di Ceresa di $\tilde{C}$ è non-torsione.
• Significato: Questo estende il risultato di Ceresa a famiglie di rivestimenti, anche quando non si sa se la curva base $C$ abbia ciclo di Ceresa non-torsione. La prova si basa sul fatto che l'ombra canonica relativa, vista come mappa dallo spazio dei punti di ramificazione alla Jacobiana, genera una sottovarietà che non è contenuta in un traslato di torsione di una sottovarietà abeliana propria.

Teorema 2: Famiglie Infinte su Varietà di Moduli

• Enunciato: Esistono infinite famiglie di rivestimenti ramificati di una famiglia variabile di curve (parametrizzata da una sottovarietà $Z \subset M_g$ con $\dim Z < g$) tali che il punto generale della famiglia ha ciclo di Ceresa non-torsione.
• Metodo: Si utilizza il teorema di Manin-Mumford relativo combinato con il teorema di "bounded height" di Habegger per garantire l'esistenza di sezioni che generano la Jacobiana relativa.

Teorema 3: Famiglia 1-dimensionale di Curve di Genere 6

• Costruzione: Una famiglia di curve di genere 6 definite dall'equazione affine:
  $$y^{12} = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3 \left(\frac{x+t}{x-t}\right)^4$$
  Questa famiglia ammette un'azione del gruppo diedrale $D_{12}$.
• Risultato: Il ciclo di Ceresa è non-torsione per ogni $t \in \mathbb{C} \setminus \{0, \pm 1\}$.
• Tecnica: Si sfruttano le azioni di involuzione per proiettare l'ombra canonica su una fibrazione ellittica $E_t$. Si ottengono due sezioni $D_1(t)$ e $D_2(t)$ linearmente indipendenti. Applicando il teorema di Masser-Zannier, si dimostra che non esistono valori di $t$ per cui entrambe le sezioni sono simultaneamente di torsione. Un calcolo esplicito (usando Magma) conferma che il luogo di torsione simultanea è vuoto.

Teorema 4: Famiglia 2-dimensionale di Curve di Genere 6 (Doppie Coperture)

• Costruzione: Una famiglia 2-parametrica di curve di genere 6 che sono doppi rivestimenti di curve piane quartiche di genere 3 con azione $S_3$.
• Risultato: Il ciclo di Ceresa è non-torsione su un sottoinsieme aperto e denso della famiglia.
• Tecnica: La Jacobiana della curva base si decompone in un prodotto di curve ellittiche $E \times E \times E'$. L'ombra canonica genera un sottogruppo di dimensione almeno 3. Poiché la dimensione della famiglia (2) è minore della dimensione dello spazio abeliano (3), il teorema di Manin-Mumford relativo (Gao-Habegger) implica che il luogo di torsione è chiuso di Zariski e di codimensione positiva.

4. Contributi Chiave e Innovazioni

1. Riduzione Geometrica: L'uso sistematico dell'"ombra canonica relativa" per trasformare un problema di cicli di codimensione 1 in un problema di punti su varietà abeliane.
2. Applicazione di Teoremi Recenti: L'applicazione efficace dei teoremi di Gao-Habegger (Manin-Mumford relativo) e Masser-Zannier per dimostrare la non-torsione in famiglie algebriche esplicite.
3. Costruzioni Esplicite: Fornire esempi concreti (Teoremi 3 e 4) dove il luogo di torsione è provato essere di codimensione positiva, un risultato raro nella letteratura attuale.
4. Connessione con Congetture di Zilber-Pink: Il lavoro offre un terreno di prova per congetture generali sulle intersezioni di sottovarietà speciali (come il luogo di torsione di Ceresa) in spazi di moduli, suggerendo che le famiglie studiate non sono "speciali" nel senso di André-Oort/Zilber-Pink generalizzato.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro rappresenta un passo significativo verso la comprensione della struttura del gruppo di Chow delle curve.

• Contro-esempi alla torsione: Dimostra che la torsione del ciclo di Ceresa è un fenomeno "raro" (Zariski chiuso di codimensione positiva) in molte famiglie naturali di curve, anche quando la curva base potrebbe avere cicli di torsione.
• Strumenti Computazionali: L'uso di calcoli espliciti (tramite Magma) per verificare l'indipendenza lineare delle sezioni e la non-torsione in casi specifici collega la teoria astratta delle intersezioni improbabili con la geometria computazionale.
• Impatto sulle Congetture di Beilinson-Bloch: Poiché il ciclo di Ceresa è un candidato chiave per i cicli non banali nei gruppi di Chow, dimostrare la sua non-torsione in famiglie generiche supporta le congetture di Beilinson-Bloch sulla ricchezza della struttura dei gruppi di Chow per varietà di dimensione superiore.

In sintesi, il paper combina teoria dei rivestimenti, geometria algebrica classica (Jacobiane, mappe di Abel-Jacobi) e teoria moderna delle intersezioni improbabili per stabilire nuovi risultati fondamentali sulla non-torsione dei cicli di Ceresa.