Covers of curves, Ceresa cycles, and Unlikely intersections

1. Problema y Contexto

El artículo aborda un problema fundamental en la geometría algebraica aritmética: determinar cuándo el ciclo de Ceresa de una curva es de orden finito (torsión) o infinito (no torsión) en el grupo de Chow de su Jacobiana.

• El Ciclo de Ceresa: Dada una curva suave, proyectiva e integral $C$ de género $g \geq 2$ sobre un cuerpo de característica cero, y una inmersión de Abel-Jacobi $i_e: C \to J$ (donde $J$ es la Jacobiana de $C$), el ciclo de Ceresa se define como:
  $$\text{Cer}(C) := [i_e(C)] - [-1]^*[i_e(C)] \in CH_1^{\text{hom}}(J)$$
  Este ciclo es homológicamente trivial. La pregunta central es si este elemento es torsión en el grupo de Chow $CH_1(J)$ (módulo equivalencia racional).
• Estado del Arte: Ceresa (1983) demostró que para una curva compleja "muy general" con $g \geq 3$, el ciclo es no torsión. Sin embargo, la estructura del lugar de torsión $M_g^{\text{tors}}$ (el subconjunto del espacio de móduli donde el ciclo es torsión) es poco conocida, excepto que contiene el lugar hiperelíptico y tiene a lo sumo un número numerable de componentes irreducibles.
• Objetivo: Los autores buscan probar que el ciclo de Ceresa es no torsión para familias específicas de recubrimientos ramificados de curvas, incluso cuando la curva base podría tener un ciclo torsión (como en el caso hiperelíptico).

2. Metodología

La estrategia central del artículo combina la teoría de intersección de ciclos algebraicos con la teoría de intersecciones improbables (unlikely intersections).

A. La "Sombra Canónica Relativa"

En lugar de estudiar directamente el ciclo de Ceresa en el grupo de Chow (que es difícil de manejar), los autores reducen el problema a una cuestión de torsión en la Jacobiana de la curva.

• Utilizan un concepto introducido previamente por Ellenberg, Logan y Srinivasan: la sombra canónica relativa ($D_\phi$) de un recubrimiento $\phi: \tilde{C} \to C$.
• Esta sombra es un divisor en $C$ (o un punto en la Jacobiana $J(C)$) obtenido intersectando el ciclo de Ceresa de $\tilde{C}$ con una correspondencia natural inducida por el mapa de recubrimiento.
• Proposición Clave (1.3): Si la sombra canónica relativa $D_\phi$ tiene orden infinito en la Jacobiana, entonces el ciclo de Ceresa de $\tilde{C}$ es no torsión.

B. Teoría de Intersecciones Improbables

Para demostrar que la sombra canónica es no torsión para puntos "muy generales" en familias de curvas, los autores aplican teoremas profundos de intersecciones improbables:

1. Teorema de Manin-Mumford-Raynaud (Teorema 2.1): Describe la distribución de puntos de torsión en subvariedades de variedades abelianas.
2. Conjetura de Manin-Mumford Relativa (Teorema 2.2, Gao-Habegger): Establece que si una subvariedad $X$ en una variedad abeliana $A$ genera $A$ (en un sentido técnico de dimensión), la intersección de $X$ con los puntos de torsión de $A$ es un subconjunto cerrado de Zariski de codimensión positiva (o finito, si las dimensiones son adecuadas).
3. Teoremas de Masser-Zannier y Stoll: Se utilizan para casos específicos de fibraciones elípticas para demostrar que ciertos puntos no pueden ser simultáneamente de torsión a menos que estén en un conjunto finito o vacío.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El paper presenta cuatro teoremas principales que extienden los resultados conocidos sobre la no torsión del ciclo de Ceresa.

Teorema 1: Recubrimientos Ramificados Generales

Demuestran que para un recubrimiento ramificado muy general $\tilde{C} \to C$ (donde $C$ es una curva de género $g \geq 2$), el ciclo de Ceresa de $\tilde{C}$ es no torsión.

• Importancia: Esto es nuevo incluso si la curva base $C$ es hiperelíptica (donde el ciclo de Ceresa es torsión). El recubrimiento "rompe" la torsión.

Teorema 2: Infinitas Familias con Locus de Torsión Pequeño

Demuestran la existencia de infinitas familias de recubrimientos ramificados sobre familias de curvas variables donde el locus de curvas con ciclo de Ceresa torsión es un subconjunto cerrado de Zariski de codimensión positiva.

• Esto significa que para una familia genérica, el ciclo es no torsión en un abierto denso.

Teorema 3: Familia Unidimensional Explícita (Género 6)

Presentan una familia explícita de curvas de género 6 dadas por la ecuación afín:
$$y^{12} = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3 \left(\frac{x+t}{x-t}\right)^4$$

• Resultado: El ciclo de Ceresa es no torsión para todo $t \in \mathbb{C} \setminus \{0, \pm 1\}$.
• Método: Utilizan la acción del grupo diédrico $D_{12}$ para proyectar la sombra canónica a una fibración elíptica. Demuestran que dos secciones resultantes son linealmente independientes y aplican el teorema de intersecciones improbables de Masser-Zannier para mostrar que no existen valores de $t$ donde ambas sean torsión simultáneamente (el locus es vacío).

Teorema 4: Familia Bidimensional Explícita (Género 6 sobre Curvas de Género 3)

Consideran una familia de curvas de género 6 que son recubrimientos dobles de una familia de curvas de género 3 (cuárticas planas) con acción $S_3$.

• Resultado: El ciclo de Ceresa es no torsión en un abierto denso de la familia.
• Método: Descomponen la Jacobiana de la curva base usando la acción $S_3$ en factores elípticos. Demuestran que la sombra canónica genera un esquema abeliano de dimensión 3. Al aplicar el teorema relativo de Manin-Mumford de Gao-Habegger, concluyen que el locus de torsión es cerrado y tiene codimensión positiva.

4. Significado e Impacto

1. Avance en la Conjetura de Beilinson-Bloch: El ciclo de Ceresa es un ejemplo prototípico de ciclos homológicamente triviales pero no algebraicamente triviales. Probar su no torsión en el grupo de Chow es esencial para verificar la conjetura de Beilinson-Bloch, que relaciona la dimensión de grupos de Chow con valores de funciones L.
2. Nuevas Técnicas: El artículo introduce una metodología robusta que reduce problemas complejos de grupos de Chow a problemas de puntos de torsión en variedades abelianas, resolviéndolos mediante herramientas de teoría de intersecciones improbables.
3. Locus de Torsión Zariski-Cerrado: Proporcionan algunos de los primeros ejemplos donde se sabe que el ciclo de Ceresa es genéricamente no torsión y, crucialmente, donde el locus de torsión es provablemente cerrado de Zariski (no solo numerable o desconocido).
4. Contraste con Resultados Previos: Mientras que trabajos anteriores (como los de Laga y Shnidman) mostraban familias con infinitos puntos de torsión (especializaciones especiales), este trabajo demuestra familias donde la torsión es la excepción (locus pequeño), lo cual es más difícil de probar y más relevante para la "generalidad" de las curvas.
5. Conexión con Conjeturas de Zilber-Pink: Los autores sugieren que sus familias son un terreno de prueba natural para conjeturas generalizadas de tipo Zilber-Pink sobre subvariedades especiales en el espacio de móduli $M_g$.

En resumen, el paper establece que para una amplia clase de recubrimientos ramificados de curvas, el ciclo de Ceresa es no torsión, utilizando una combinación ingeniosa de teoría de recubrimientos, geometría de curvas y teoremas modernos de intersecciones improbables para controlar el comportamiento de los puntos de torsión.