Covers of curves, Ceresa cycles, and Unlikely intersections

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'étude du cycle de Ceresa, un cycle algébrique homologue à zéro défini sur la jacobienne d'une courbe algébrique. Soit $C$ une courbe lisse, projective et géométriquement intègre de genre $g \ge 2$ sur un corps de caractéristique nulle. Le cycle de Ceresa, noté $\text{Cer}(C)$, est défini dans le groupe de Chow des 1-cycles homologue à zéro modulo l'équivalence rationnelle :
$$\text{Cer}(C) := [i_e(C)] - [-1]^*[i_e(C)] \in \text{CH}^{\text{hom}}_1(J)$$
où $i_e: C \to J$ est l'immersion d'Abel-Jacobi associée à un diviseur de degré 1.

Le problème central est de déterminer si ce cycle est de torsion (c'est-à-dire s'il existe un entier $n$ tel que $n \cdot \text{Cer}(C) = 0$) ou de torsion infinie (nontorsion).

• Résultats antérieurs : Ceresa (1983) a démontré que pour une courbe complexe très générale de genre $g \ge 3$, le cycle est de torsion infinie modulo l'équivalence algébrique. Collino et Pirola (1995) ont étendu ce résultat à des sous-variétés de codimension faible dans l'espace de modules $\mathcal{M}_g$.
• Lacune : Il est peu connu si le cycle est de torsion pour des familles spécifiques de revêtements ramifiés, et la nature du lieu des courbes où le cycle est de torsion ($\mathcal{M}^{\text{tors}}_g$) reste mal comprise, bien qu'il contienne le lieu hyperelliptique.

L'objectif de l'article est de prouver que pour des familles de revêtements ramifiés très généraux, le cycle de Ceresa est de torsion infinie, et de caractériser le lieu de torsion comme étant Zariski fermé et de codimension positive.

2. Méthodologie

La stratégie principale repose sur une réduction du problème de torsion du cycle de Ceresa à un problème de torsion de points sur la jacobienne, en utilisant la théorie des intersections improbables (unlikely intersections).

A. L'Ombre Canonique Relative (Relative Canonical Shadow)

Les auteurs utilisent un outil introduit par Ellenberg, Logan et Srinivasan : l'ombre canonique relative d'un revêtement $\phi: \tilde{C} \to C$.
Pour un revêtement séparable $\phi$ de degré $d$, l'ombre canonique relative $D_\phi$ est un diviseur sur $\tilde{C}$ défini par :
$$D_\phi := d(2g_C - 2)R_\phi - \deg(R_\phi)\phi^*(K_C) + 2(dR_\phi - \phi^*\phi^*R_\phi)$$
où $R_\phi$ est le diviseur de ramification et $K_C$ un diviseur canonique.
Propriété clé (Proposition 1.3) : Si $D_\phi$ est de torsion infinie dans $\text{Pic}^0(\tilde{C})$, alors le cycle de Ceresa $\text{Cer}(\tilde{C})$ est de torsion infinie.

B. Réduction aux Points de Jacobienne

Au lieu d'étudier directement le cycle, les auteurs projettent l'ombre canonique relative sur la jacobienne de la courbase $C$ via l'application de pushforward $\phi_*$. Ils montrent que $\phi_*(D_\phi)$ correspond à un point spécifique sur la jacobienne $J(C)$, obtenu par une combinaison linéaire pondérée des points de branchement.
Le problème devient alors : ce point sur la jacobienne est-il de torsion ?

C. Théorèmes d'Intersections Improbables

Pour étudier le lieu où ce point devient de torsion lorsque les points de branchement varient, les auteurs appliquent des résultats profonds de la théorie des intersections improbables :

1. Théorème de Manin-Mumford-Raynaud : Décrit la distribution des points de torsion sur une sous-variété d'une variété abélienne.
2. Théorème de Manin-Mumford Relatif (Gao-Habegger) : Généralise le théorème précédent aux schémas abéliens sur une base de dimension supérieure. Il stipule que si une sous-variété $X$ d'un schéma abélien $\mathcal{A} \to S$ engendre $\mathcal{A}$, alors l'ensemble des points de torsion dans $X$ est contenu dans un sous-schéma fermé de codimension positive (sauf si $\dim X$ est trop grand).
3. Théorème de Masser-Zannier : Cas particulier pour les produits de fibrations elliptiques, garantissant que deux sections linéairement indépendantes ne sont simultanément de torsion qu'en un nombre fini de points.
4. Théorème de Habegger (Hauteur bornée) : Utilisé pour garantir l'existence de points de base définis sur $\mathbb{Q}$ qui génèrent la variété abélienne, condition nécessaire pour appliquer les théorèmes relatifs.

3. Résultats Principaux

Les auteurs établissent quatre théorèmes majeurs :

Théorème 1 : Généralité dans les espaces de Hurwitz

Pour une courbe de base $C$ de genre $g \ge 2$ et un espace de Hurwitz $H_{d,r}(C, \rho)$ paramétrant les revêtements ramifiés de degré $d$ avec une classe de monodromie $\rho$, le cycle de Ceresa $\text{Cer}(\tilde{C})$ est de torsion infinie pour un point très général de cet espace.

• Signification : Cela généralise le résultat de Ceresa aux revêtements, même lorsque la courbe de base $C$ elle-même pourrait avoir un cycle de Ceresa de torsion (ex: courbes hyperelliptiques).

Théorème 2 : Existence de familles infinies

Il existe une infinité de familles de revêtements ramifiés d'une famille de courbes variable, où le point général correspond à une courbe avec un cycle de Ceresa de torsion infinie.

• Condition : Si $Z$ est une sous-variété intégrale de $\mathcal{M}_g$ de dimension strictement inférieure à $g$, alors on peut trouver des sections de revêtements tels que le lieu de torsion soit de codimension positive.

Théorème 3 : Famille 1-paramètre explicite (Genre 6)

Les auteurs construisent une famille explicite de courbes de genre 6, revêtements doubles d'une famille de courbes de genre 3, définie par l'équation affine :
$$y^{12} = \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3 \left(\frac{x+t}{x-t}\right)^4$$
Ils prouvent que pour tout $t \in \mathbb{C} \setminus \{0, \pm 1\}$, le cycle de Ceresa est de torsion infinie.

• Méthode : Utilisation de l'action du groupe diédral $D_{12}$ pour projeter l'ombre canonique sur une fibration elliptique. L'indépendance linéaire de deux sections est vérifiée, et le théorème de Masser-Zannier (renforcé par un résultat de Stoll) montre que le lieu de torsion simultanée est vide.

Théorème 4 : Famille 2-paramètres explicite (Genre 6 via Genre 3)

Une famille de courbes de genre 6 obtenues comme revêtements doubles d'une famille de courbes de genre 3 (quartiques planes) avec une action $S_3$.
$$f_{u,w}(X, Y, Z) = w^2(X(Y^3 + Z^3) + Y^2Z^2) + (u^3 + w^4)X^2YZ + w^2u^3X^4 = 0$$
Ils démontrent que le lieu de torsion est Zariski fermé et de codimension positive dans l'espace des paramètres.

• Méthode : Décomposition de la jacobienne via l'action $S_3$ en un produit de variétés abéliennes de dimension 3. L'ombre canonique génère une sous-variété de dimension 3. Comme la dimension de la base est 2, le théorème de Manin-Mumford relatif (Gao-Habegger) s'applique directement.

4. Contributions Clés et Innovations

1. Nouvelle approche par l'ombre canonique : L'article formalise et exploite systématiquement l'ombre canonique relative comme un obstacle à la trivialité du cycle de Ceresa, réduisant un problème de cycles de codimension supérieure à un problème de points de torsion sur une variété abélienne.
2. Application des intersections improbables : C'est l'une des premières applications combinant la théorie des cycles de Chow et les théorèmes récents de Manin-Mumford relatif (Gao-Habegger) et Masser-Zannier pour étudier le lieu de torsion de Ceresa dans des familles explicites.
3. Exemples explicites de lieux de torsion : Contrairement aux résultats génériques, les auteurs fournissent des équations explicites (Théorèmes 3 et 4) où le lieu de torsion est prouvé être Zariski fermé et de codimension positive. Cela fournit des contre-exemples concrets à l'idée que le lieu de torsion pourrait être dense dans certaines familles.
4. Distinction entre torsion dans le groupe de Chow et dans le groupe de Griffiths : L'article note que pour la famille du Théorème 3, le cycle est de torsion dans le groupe de Griffiths (résultat de Laga-Shnidman), mais de torsion infinie dans le groupe de Chow, soulignant la subtilité de la torsion modulo l'équivalence rationnelle.

5. Signification et Impact

Ce travail avance considérablement la compréhension de la structure du groupe de Chow des courbes algébriques, un domaine où les cycles non triviaux sont rares et difficiles à construire.

• Conjectures de Beilinson-Bloch : En produisant des familles de cycles de Ceresa de torsion infinie, l'article soutient les conjectures reliant la torsion des cycles algébriques à la théorie de Hodge et aux fonctions L.
• Géométrie de l'espace de modules $\mathcal{M}_g$ : Les résultats éclairent la structure du sous-ensemble $\mathcal{M}^{\text{tors}}_g$. Ils suggèrent que ce lieu est "petit" (de codimension positive) dans de nombreuses familles naturelles, renforçant l'idée que le cycle de Ceresa est génériquement non trivial.
• Conjectures de type Zilber-Pink : L'article fournit un cadre de test pour les conjectures généralisées de Zilber-Pink sur les sous-variétés spéciales de $\mathcal{M}_g$, en reliant la torsion de Ceresa à des structures de Hodge mixtes.

En résumé, l'article établit un pont robuste entre la théorie des cycles algébriques, la géométrie des revêtements et la théorie des nombres (intersections improbables), fournissant des preuves rigoureuses de la non-torsion générique du cycle de Ceresa dans des contextes nouveaux et explicites.