Lower bounds for the large deviations and moments of the Riemann zeta function on the critical line

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nel campo della teoria analitica dei numeri, focalizzandosi sulla distribuzione dei valori della funzione Zeta di Riemann $\zeta(s)$ sulla linea critica $\text{Re}(s) = 1/2$.

• Contesto storico: Il Teorema del Limite Centrale di Selberg stabilisce che $\log|\zeta(1/2 + it)|$ si comporta asintoticamente come una variabile gaussiana con media zero e varianza $\log \log T$ per $t \in [0, T]$.
• La sfida: Mentre il comportamento gaussiano è ben compreso per deviazioni dell'ordine della deviazione standard ($\sqrt{\log \log T}$), la comprensione delle grandi deviazioni (dove il valore è dell'ordine di $\alpha \log \log T$) e dei momenti frazionari rimane un problema aperto.
• Obiettivo specifico: Dimostrare un limite inferiore incondizionato (senza assumere l'Ipotesi di Riemann) per la misura degli insiemi di livello dove $\log|\zeta(1/2 + it)|$ supera una soglia $V \sim \alpha \log \log T$. Questo risultato è cruciale per derivare limiti inferiori precisi per i momenti della funzione Zeta, migliorando i risultati precedenti che richiedevano l'Ipotesi di Riemann o fornivano costanti meno ottimali.

2. Metodologia e Strumenti Principali

L'approccio combina tecniche di teoria dei numeri, probabilità e analisi complessa, basandosi su uno schema ricorsivo sviluppato in lavori precedenti ([ABR20], [AB23], [AB24]).

A. Approssimazione tramite Somme Parziali

Il logaritmo della funzione Zeta viene approssimato dalle parti reali di polinomi di Dirichlet:
$$S(\eta, t) \approx \text{Re} \sum_{p \le T^*} \frac{1}{p^{1/2+it}} + \frac{1}{2p^{1+2it}}$$
dove $T^*$ è una soglia di taglio scelta strategicamente ($T^* = T^{1/R(\alpha^2+1)}$) per controllare la distribuzione dei numeri primi.

B. Vincoli e "Barriere" (Restrictions)

Per gestire le grandi deviazioni, gli autori dividono l'intervallo dei numeri primi in blocchi $P_j$ su scala log-log. Introducono un evento "buono" $G_J$ che richiede che le somme parziali $S_j(t)$ rimangano all'interno di una "barriera" stretta attorno a una linea di pendenza $\kappa^* \approx V^*/n_J$. Questo vinco la traiettoria della somma parziale, simulando un cammino casuale condizionato.

C. Mollificatori e Ineguaglianza di Paley-Zygmund

• Mollificatori: Vengono costruiti mollificatori $M(t)$ (prodotti di polinomi di Dirichlet) per "smussare" la funzione Zeta e isolare i contributi delle grandi deviazioni.
• Paley-Zygmund: Per ottenere un limite inferiore sulla probabilità dell'evento, si applica l'ineguaglianza di Paley-Zygmund alla variabile $|\zeta M|^2$:
  $$P(|\zeta M|^2 > \delta E[|\zeta M|^2]) \ge \frac{(1-\delta)^2 (E[|\zeta M|^2])^2}{E[|\zeta M|^4]}$$
  Questo richiede il calcolo preciso dei momenti twistati (secondo e quarto) della funzione Zeta moltiplicata per il mollificatore.

D. Tilt Polinomiale e Modelli di Steinhaus

Un'innovazione chiave rispetto ai lavori precedenti è l'uso di un tilt polinomiale (invece che puramente esponenziale o basato su funzioni indicatrici) per rendere tipiche le grandi deviazioni nella misura distorta.

• I momenti twistati vengono stimati riducendo il problema al modello di Steinhaus, dove i termini $p^{-it}$ sono sostituiti da variabili casuali indipendenti uniformemente distribuite su un cerchio unitario.
• Vengono provate formule asintotiche per i momenti twistati (Proposizione 3.5), dimostrando che sono dominati dal termine diagonale, permettendo di separare le contribuzioni dei diversi intervalli di primi.

3. Risultati Chiave

Teorema 1.1 (Limite Inferiore per Grandi Deviazioni)

Per $\alpha > 0$ e $V \sim \alpha \log \log T$, per $T$ sufficientemente grande:
$$\frac{1}{T} \text{meas} \left\{ t \in [0, T] : \log |\zeta(1/2 + it)| > V \right\} \ge K_\alpha \int_V^\infty \frac{e^{-y^2/\log \log T}}{\sqrt{\log \log T}} dy$$
dove la costante $K_\alpha$ soddisfa:
$$K_\alpha \gg (C \alpha^2 \log \alpha)^{-\alpha^2}$$
Questo risultato è incondizionato (non richiede l'Ipotesi di Riemann) e fornisce un decadimento gaussiano preciso.

Corollario 1.2 (Momenti Frazionari)

Utilizzando la decomposizione dei momenti tramite le misure degli insiemi di livello, si ottiene un limite inferiore per i momenti frazionari:
$$\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2\alpha} dt \gg K_\alpha T (\log T)^{\alpha^2}$$
Questo riproduce i risultati più affinati noti (ottenuti precedentemente da Heap, Soundararajan, e Radziwill sotto ipotesi o con costanti peggiori) ma in modo incondizionato e con la costante ottimale per il decadimento gaussiano.

Teorema 1.3 (Aspetto $q$)

La metodologia viene generalizzata alle funzioni L di Dirichlet primitive e pari modulo $q$. Si ottiene un limite inferiore analogo per la misura degli insiemi di livello di $\log |L(1/2, \chi)|$, confermando la coerenza con il Teorema del Limite Centrale per le funzioni L.

4. Contributi Tecnici e Innovazioni

1. Rimozione dell'Ipotesi di Riemann: Il lavoro dimostra che i limiti inferiori per le grandi deviazioni e i momenti possono essere ottenuti senza assumere l'Ipotesi di Riemann, chiudendo un gap significativo nella letteratura.
2. Ottimizzazione della Costante: Migliora la costante $K_\alpha$ rispetto ai lavori precedenti ([AB24]), che utilizzavano un argomento di convessità spostando la linea critica. La nuova costante coincide con quella attesa dalle congetture di Keating e Snaith per i momenti, a meno di un fattore quadratico.
3. Tilt Polinomiale e Controllo dei Primi: L'uso di un tilt polinomiale permette di controllare i primi fino a $T^* = T^{1/R(\alpha^2+1)}$ con polinomi di Dirichlet più corti rispetto ai metodi precedenti, migliorando l'efficienza del calcolo dei momenti twistati.
4. Stima dei Momenti Twistati: La dimostrazione delle formule per i momenti twistati (Appendice A) con mollificatori complessi e vincoli di barriera rappresenta un avanzamento tecnico sostanziale nella manipolazione delle somme di Dirichlet.

5. Significato e Implicazioni

Questo articolo rappresenta un passo fondamentale nella comprensione della distribuzione dei valori della funzione Zeta di Riemann.

• Conferma delle Congetture: Fornisce prove rigorose che le grandi deviazioni della funzione Zeta seguono un decadimento gaussiano fino all'ordine della varianza, confermando le intuizioni di Soundararajan sulla struttura dei momenti.
• Robustezza: Dimostra che le proprietà statistiche della funzione Zeta (come la crescita dei momenti) sono intrinseche e non dipendono da congetture non ancora dimostrate come l'Ipotesi di Riemann.
• Generalizzabilità: La tecnica sviluppata è applicabile ad altre famiglie di funzioni L (come quelle di Dirichlet), offrendo un nuovo strumento potente per lo studio delle grandi deviazioni in teoria dei numeri.

In sintesi, il lavoro combina un'analisi probabilistica sofisticata con strumenti analitici profondi per stabilire limiti inferiori ottimali e incondizionati per le code della distribuzione della funzione Zeta, risolvendo questioni aperte da anni riguardanti la precisione delle costanti nei limiti dei momenti.