Lower bounds for the large deviations and moments of the Riemann zeta function on the critical line

1. Problema e Contexto

O artigo aborda um dos problemas centrais na teoria analítica dos números: a compreensão da distribuição de valores da função Zeta de Riemann, $\zeta(s)$, na linha crítica $\text{Re}(s) = 1/2$.

• Comportamento Gaussiano: Desde o Teorema do Limite Central de Selberg (1946), sabe-se que $\log|\zeta(1/2 + it)|$ comporta-se como uma variável aleatória Gaussiana com média zero e variância $\log \log T$ para $t$ uniformemente distribuído em $[0, T]$.
• Desvios Grandes (Large Deviations): O foco do trabalho é o comportamento além do desvio padrão ($\sqrt{\log \log T}$), especificamente para desvios da ordem $V \sim \alpha \log \log T$ (onde $\alpha > 0$).
• Momentos Fracionários: A taxa de crescimento dos momentos $\int_0^T |\zeta(1/2+it)|^{2\alpha} dt$ é determinada pela medida dos conjuntos de nível onde $\log|\zeta|$ é grande. Resultados anteriores (como [HS22] e [RS12]) estabeleceram limites inferiores para esses momentos, mas muitas vezes dependiam da Hipótese de Riemann (RH) ou de constantes não otimizadas.
• O Desafio: O objetivo é provar um limite inferior incondicional (sem assumir a RH) para a medida dos conjuntos de nível na linha crítica, com uma constante que seja compatível com as melhores estimativas conhecidas para os momentos, e que corresponda ao limite superior já estabelecido em trabalhos anteriores ([AB23]) para o intervalo $0 < \alpha < 2$.

2. Metodologia

A prova utiliza uma combinação sofisticada de técnicas de teoria dos números analítica e probabilidade, baseando-se em um esquema recursivo desenvolvido em trabalhos anteriores ([ABR20], [AB23], [AB24]).

A. Aproximação por Somas Parciais

O logaritmo da função Zeta é aproximado por somas parciais de Dirichlet:
$$S(\eta, t) = \sum_{\log \log p < \eta} \frac{1}{p^{1/2+it}} + \sum_{\log \log p < \eta} \frac{1}{2p^{1+2it}}$$
O intervalo de primos é truncado em $T^* = T^{1/R(\alpha^2+1)}$ para permitir o controle rigoroso das somas. O intervalo de primos é dividido em "camadas" $P_j$ baseadas em escalas log-log.

B. Restrições e Barreiras (Barrier Method)

Para obter um limite inferior agudo, o método não considera apenas o evento final $\log|\zeta| > V$, mas impõe que as somas parciais $S_j(t)$ em cada camada $j$ permaneçam dentro de uma "janela" estreita ao redor de uma trajetória linear (um "caminho aleatório" guiado).

• Define-se um gradiente aproximado $\kappa^* \approx V^*/n_J$.
• Estabelecem-se barreiras $L_j(z)$ e $U_j(z)$ que as somas parciais devem respeitar.
• O evento $G_J$ é a interseção de todas essas restrições.

C. Desigualdade de Paley-Zygmund

Para obter o limite inferior na probabilidade do evento $G_J$, os autores aplicam a desigualdade de Paley-Zygmund na variável $|\zeta M|^2$, onde $M(t)$ é um mollificador (suavizador) construído especificamente para o problema.
$$P(|\zeta M|^2 > \delta E[|\zeta M|^2 | G_J]) \geq (1-\delta)^2 \frac{E[|\zeta M|^2 | G_J]^2}{E[|\zeta M|^4 | G_J]}$$
Isso reduz o problema ao cálculo de momentos torcidos (twisted moments) de ordem 2 e 4.

D. Mollificadores e Polinômios de Dirichlet

• O mollificador $M(t)$ é um produto de polinômios de Dirichlet $M_j(t)$ associados a cada camada de primos.
• Para lidar com a raridade do evento de desvio grande, os autores utilizam um tilt (viés) polinomial em vez de apenas funções indicadoras. Isso permite usar polinômios de Dirichlet mais curtos, o que é crucial para manter a constante $K_\alpha$ otimizada.
• A prova envolve a aproximação das funções indicadoras das barreiras por polinômios $D_\pm$ (baseados em [AB24]), garantindo que o erro de aproximação seja controlado.

E. Modelo de Steinhaus e Momentos Torcidos

O cálculo dos momentos torcidos $E[|\zeta M|^{2k} Q(t)^2]$ (onde $Q$ é um polinômio "separável") é realizado utilizando o Modelo de Steinhaus.

• Neste modelo, os termos $p^{-it}$ são substituídos por variáveis aleatórias $e^{i\theta_p}$, onde $\theta_p$ são uniformes em $[0, 2\pi)$.
• O artigo prova que os momentos torcidos da função Zeta real são assintoticamente dominados pelo termo diagonal no modelo de Steinhaus, permitindo o uso de propriedades de independência e momentos de variáveis Gaussianas para estimar as expectativas.

3. Principais Contribuições e Resultados

Teorema 1.1 (Limite Inferior para Desvios Grandes)

O resultado principal estabelece que, para $V \sim \alpha \log \log T$ e $T$ suficientemente grande:
$$\frac{1}{T} \left| \left\{ t \in [0, T] : \log \left| \zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) \right| > V \right\} \right| \geq K_\alpha \int_V^\infty \frac{e^{-y^2/\log \log T}}{\sqrt{\log \log T}} dy$$
Onde a constante $K_\alpha$ satisfaz:
$$K_\alpha \gg (C \alpha^2 \log \alpha)^{-\alpha^2}$$

• Incondicionalidade: O resultado não depende da Hipótese de Riemann.
• Otimização da Constante: A constante $K_\alpha$ obtida é a mesma (até fatores constantes) das melhores estimativas conhecidas para os momentos fracionários, melhorando significativamente trabalhos anteriores que usavam argumentos de convexidade fora da linha crítica (que resultavam em constantes piores, como $\alpha^{36}$).

Corolário 1.2 (Recuperação dos Momentos Fracionários)

Utilizando a decomposição de momentos em integrais sobre conjuntos de nível (método de Soundararajan), o teorema implica um limite inferior para os momentos fracionários:
$$\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2\alpha} dt \gg K_\alpha T (\log T)^{\alpha^2}$$
Isso confirma que a contribuição dominante para os momentos vem de valores onde $|\zeta(1/2+it)|$ é da ordem $(\log T)^\alpha$, e que esses valores ocorrem com a medida esperada.

Teorema 1.3 (Aspecto $q$ - Funções L de Dirichlet)

O método é generalizado para valores centrais de funções L de Dirichlet primitivas com caracteres pares módulo $q$. O resultado análogo é provado para $L(1/2, \chi)$, estabelecendo limites inferiores para desvios grandes e momentos fracionários nessa família, consistente com o Teorema do Limite Central para valores centrais de L.

4. Significado e Impacto

1. Resolução de uma Questão Aberta: O trabalho remove a dependência da Hipótese de Riemann para obter limites inferiores precisos para desvios grandes na linha crítica, um problema que vinha sendo estudado com restrições condicionais.
2. Conexão com Conjecturas: O resultado é consistente com a conjectura de que a distribuição de $\log|\zeta|$ segue uma lei Gaussiana até desvios da ordem $\log \log T$. A constante obtida, embora ligeiramente inferior (quadrática no fator) à conjectura de Keating-Snaith (que prevê fatores aritméticos e geométricos específicos), é a melhor possível incondicionalmente com as técnicas atuais.
3. Refinamento Técnico: A prova demonstra a eficácia de combinar mollificadores torcidos, desigualdade de Paley-Zygmund e modelos probabilísticos (Steinhaus) para obter constantes assintóticas precisas. A capacidade de controlar os primos até $T^*$ (em vez de truncar muito mais cedo, como em trabalhos anteriores) é crucial para a otimização da constante.
4. Generalidade: A metodologia desenvolvida é robusta e aplicável a outras famílias de funções L, como demonstrado no caso das funções L de Dirichlet, sugerindo que a estrutura de desvios grandes é uma propriedade universal em certas famílias de funções L.

Em resumo, o artigo fornece uma prova rigorosa e incondicional de que os valores extremos da função Zeta na linha crítica ocorrem com a frequência prevista pela teoria de valores extremos Gaussianos, validando e refinando as estimativas para os momentos da função Zeta.