Lower bounds for the large deviations and moments of the Riemann zeta function on the critical line

1. Problématique et Contexte

L'étude de la distribution des valeurs de la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$ sur la ligne critique $\text{Re}(s) = 1/2$ est un sujet central en théorie analytique des nombres. Depuis le théorème de la limite centrale de Selberg (1946), on sait que $\log|\zeta(1/2 + it)|$ suit une loi gaussienne pour des déviations de l'ordre de $\sqrt{\log \log T}$.

Cependant, le comportement de cette distribution au-delà de l'écart-type standard, dans le régime des grandes déviations (de l'ordre de $V \sim \alpha \log \log T$), reste un défi majeur. La question fondamentale est de déterminer la mesure des ensembles de niveau où $\log|\zeta(1/2 + it)|$ dépasse une valeur $V$. Cette mesure détermine directement la croissance des moments fractionnaires de la fonction zêta.

Les travaux antérieurs, notamment [HS22] et [RS12], ont établi des bornes inférieures pour les moments fractionnaires, mais souvent en supposant l'Hypothèse de Riemann (HR) ou avec des constantes sous-optimales. Le papier [AB23] a prouvé une borne supérieure inconditionnelle pour les grandes déviations, mais la borne inférieure correspondante sur la ligne critique, avec la constante optimale, manquait.

Objectif du papier : Prouver une borne inférieure inconditionnelle pour la mesure des ensembles de niveau de $\log|\zeta(1/2 + it)|$ pour des déviations de l'ordre $V \sim \alpha \log \log T$, avec une constante qui correspond aux bornes inférieures connues pour les moments, sans recourir à l'Hypothèse de Riemann.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une approche probabiliste sophistiquée combinant l'approximation de la fonction zêta par des polynômes de Dirichlet et des techniques de déviation large.

A. Approximation par des sommes partielles

Les auteurs approximent $\log|\zeta(1/2 + it)|$ par la partie réelle de sommes partielles de Dirichlet :
$$S(\eta, t) = \sum_{\log \log p < \eta} \frac{1}{p^{1/2+it}} + \sum_{\log \log p < \eta} \frac{1}{2p^{1+2it}}$$
où la somme est tronquée à un seuil $T^* = T^{1/R(\alpha^2+1)}$. Cette troncature est nécessaire pour contrôler les erreurs et appliquer les théorèmes de la valeur moyenne.

B. Stratégie de "Barrière" et Mollification

Pour estimer la probabilité que $\log|\zeta|$ dépasse $V$, les auteurs définissent un événement $G_J$ où les sommes partielles $S_j(t)$ (définies sur des intervalles de nombres premiers $P_j$) restent confinées dans une "barrière" étroite autour d'une trajectoire linéaire dans l'échelle log-log.

• Mollificateurs : Ils utilisent des mollificateurs $M(t)$ (produits de polynômes de Dirichlet) pour lisser la fonction zêta et éviter les pôles ou les valeurs trop petites.
• Inégalité de Paley-Zygmund : Au lieu d'utiliser une simple inégalité de Cauchy-Schwarz, ils appliquent l'inégalité de Paley-Zygmund sur la variable aléatoire $|\zeta M|^2$. Cela permet de relier la probabilité d'un événement rare (grande déviation) aux moments conditionnels :
  $$P(|\zeta M|^2 > e^{2(V-L_J)} | G_J) \ge (1-\delta)^2 \frac{(\mathbb{E}[|\zeta M|^2 | G_J])^2}{\mathbb{E}[|\zeta M|^4 | G_J]}$$

C. Moments Tordus (Twisted Moments) et Inclinaison (Tilting)

Le cœur technique réside dans l'estimation des moments conditionnels $\mathbb{E}[|\zeta M|^{2k} \mathbf{1}_{G_J}]$.

• Approximation polynomiale : Les fonctions indicatrices de l'événement $G_J$ sont approximées par des polynômes de Dirichlet $D_\pm$.
• Inclinaison (Tilting) : Pour obtenir la constante optimale, les auteurs introduisent une inclinaison polynomiale (plutôt qu'exponentielle pure) sur les sommes partielles. Cela permet de rendre les grandes déviations "typiques" sous une mesure de probabilité biaisée, facilitant le calcul des moments.
• Modèle de Steinhaus : Grâce à l'indépendance des phases des nombres premiers, les sommes partielles sont comparées à un modèle de marche aléatoire (modèle de Steinhaus) où les termes $p^{-it}$ sont remplacés par des variables aléatoires indépendantes uniformes sur le cercle unité.

D. Calcul des Moments Tordus

Les auteurs démontrent des formules précises pour les moments tordus de la forme $\int |\zeta M|^{2k} Q(t)^2 dt$, où $Q$ est un polynôme "séparable" (défini sur des intervalles de nombres premiers disjoints). Ils montrent que ces intégrales sont dominées par le terme diagonal, ce qui permet de les évaluer asymptotiquement en fonction de $\log T$.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Borne inférieure pour les grandes déviations)

Pour tout $\alpha > 0$ et $V \sim \alpha \log \log T$, pour $T$ suffisamment grand, la mesure de l'ensemble où $\log|\zeta(1/2+it)| > V$ satisfait :
$$\frac{1}{T} \text{meas}\left\{ t \in [0, T] : \log|\zeta(1/2+it)| > V \right\} \ge K_\alpha \int_V^\infty \frac{e^{-y^2/\log \log T}}{\sqrt{\log \log T}} dy$$
où la constante $K_\alpha$ satisfait :
$$K_\alpha \gg (C \alpha^2 \log \alpha)^{-\alpha^2}$$
Cette constante correspond à la borne inférieure la plus fine connue pour les moments, améliorant les résultats précédents qui dépendaient de l'Hypothèse de Riemann ou avaient des constantes plus faibles (comme dans [AB24]).

Corollaire 1.2 (Moments fractionnaires)

En utilisant la décomposition des moments via les mesures des ensembles de niveau (méthode de Soundararajan), les auteurs récupèrent la borne inférieure pour tous les moments fractionnaires :
$$\int_0^T |\zeta(1/2+it)|^{2\alpha} dt \gg K_\alpha T (\log T)^{\alpha^2}$$
Ce résultat est inconditionnel et atteint la même constante que les meilleurs résultats antérieurs.

Théorème 1.3 (Aspect $q$)

La méthode est généralisée aux fonctions $L$ de Dirichlet primitives paires. Pour un module premier $q$ et $W \sim \alpha \log \log q$, une borne inférieure similaire est établie pour la mesure des valeurs centrales $L(1/2, \chi)$, confirmant la cohérence avec le Théorème Central Limite pour les familles de fonctions $L$.

4. Contributions Clés et Signification

1. Suppression de l'Hypothèse de Riemann : C'est la première preuve inconditionnelle d'une borne inférieure pour les grandes déviations sur la ligne critique avec la constante optimale (jusqu'à un facteur polynomial en $\alpha$). Auparavant, les résultats de Soundararajan [Sou09] nécessitaient l'Hypothèse de Riemann pour obtenir cette précision.
2. Optimalité de la constante : La constante $K_\alpha$ obtenue correspond à la prédiction de Keating et Snaith (facteurs arithmétique et géométrique) pour les moments, bien qu'elle soit légèrement inférieure (d'un facteur carré) à la conjecture exacte pour les grandes déviations.
3. Innovation Technique : L'utilisation d'une inclinaison polynomiale combinée à l'inégalité de Paley-Zygmund permet de contourner les limitations des méthodes précédentes basées uniquement sur des fonctions indicatrices ou des inclinaisons exponentielles simples. Cela permet de contrôler les termes d'erreur et d'obtenir des constantes plus fines.
4. Généralité : La méthode s'applique à d'autres familles de fonctions $L$ (comme les fonctions $L$ de Dirichlet), démontrant la robustesse de l'approche basée sur les moments tordus et les modèles de marche aléatoire.

Conclusion

Ce papier résout un problème ouvert majeur en théorie des nombres en établissant une borne inférieure inconditionnelle et précise pour les grandes déviations de la fonction zêta sur la ligne critique. En reliant directement la mesure des ensembles de niveau aux moments fractionnaires avec une constante optimale, il valide la conjecture selon laquelle les valeurs extrêmes de la fonction zêta contribuent de manière dominante à la croissance de ses moments, conformément aux prédictions de la théorie des matrices aléatoires et de la théorie des nombres probabiliste.