The weight two and opposite sign cases for the Fourier relative trace formulas

1. Il Problema e il Contesto

Le formule di Petersson e di Bruggeman-Kuznetsov (PBK) sono strumenti fondamentali nell'analisi numerica, con applicazioni che spaziano dai momenti di funzioni L, alle disuguaglianze del setaccio grande, fino alla distribuzione dei primi in progressioni aritmetiche.
Esistono due approcci principali per derivare queste formule:

1. Approccio classico: basato sulle serie di Poincaré.
2. Approccio della formula pre-traccia (Pre-trace formula): sviluppato da Jacquet e Zagier, e successivamente esposto da Knightly e Li. Questo metodo offre maggiore flessibilità nella selezione di famiglie di rappresentazioni locali non archimedee.

Tuttavia, la letteratura presenta una lacuna significativa: l'approccio della formula pre-traccia non era stato completamente sviluppato per due casi specifici e cruciali:

• Il caso opposto di segno ($m_1 m_2 < 0$) per le forme di Maass.
• Il caso olomorfo di peso $\kappa = 2$.

Il caso $\kappa = 2$ è particolarmente rilevante per le applicazioni alle curve ellittiche su $\mathbb{Q}$, ma presenta difficoltà tecniche perché il coefficiente matriciale associato alla serie discreta $D(2)$ non appartiene a $L^1([G])$, rendendo il nucleo geometrico non assolutamente e uniformemente convergente su compatti.

2. Metodologia

L'autore utilizza un approccio adelico basato sulla Formula Relativa di Traccia. La strategia generale consiste nell'uguagliare due espansioni di un nucleo integrale $K_{geom}(x, y)$ associato a una funzione test globale $f_A = f_\infty \otimes f$:

1. Lato Geometrico: Una somma su orbite di $G(\mathbb{Q})$ (termini diagonali e non diagonali), che porta a somme di Kloosterman generalizzate.
2. Lato Spettrale: Una somma su rappresentazioni automorfe cuspidali e continue (serie di Eisenstein), pesata da coefficienti di Fourier.

Le innovazioni metodologiche principali sono:

A. Caso di Segni Opposti ($m_1 m_2 < 0$)

• Trasformata di Zagier Modificata: Nel caso di segni opposti, il termine diagonale (prima cella) scompare a causa del supporto della funzione test $f_\infty$. Il contributo principale proviene dai termini della seconda cella. L'autore introduce una Trasformata di Zagier modificata $M(t)$, definita come:
  $$M(t) = \iint_{\mathbb{H}} k(z+t, 1/z) y \, dz$$
  dove $k$ è un nucleo invariante per punti.
• Dimostrazione: Viene dimostrato che la trasformata di Fourier di $M(t)$ è legata alla funzione test spettrale $h_\infty(t)$ tramite una trasformata integrale che coinvolge la funzione di Bessel modificata $K_{2it}$ e $\sinh(\pi t)$, permettendo di recuperare la formula di Bruggeman-Kuznetsov (BK) per segni opposti.
• Assunzioni: Si introducono ipotesi "Geometriche" e "Spettrali" sulla funzione test non archimedea $f$ per ottenere formule raffinate che isolano gli autovalori di Hecke.

B. Caso Olomorfo di Peso $\kappa = 2$

• Problema di Convergenza: Per $\kappa \ge 4$, il coefficiente matriciale è in $L^1$, ma per $\kappa = 2$ non lo è.
• Argomento di Limite con Troncamento: L'autore introduce una funzione di troncamento liscia $\varrho_T$ (supportata sulla distanza iperbolica) per definire una funzione test troncata $f_\infty^T = f_\infty \cdot \varrho_T$.
• Analisi Asintotica: Si calcola il limite per $T \to \infty$ di entrambi i lati della formula pre-traccia:
  • Lato Spettrale: Si dimostra che i contributi delle serie principali (cuspidali non di peso 2) e delle serie di Eisenstein tendono a zero grazie a stime decrescenti degli autovalori dell'operatore troncato $\lambda_T(t)$ e delle somme di coefficienti di Fourier. Rimane solo il contributo della serie discreta $D(2)$.
  • Lato Geometrico: Si dimostra che il termine diagonale (prima cella) converge a un valore non nullo (dando il termine $\delta_{m_1=m_2}$), mentre i termini non diagonali (seconda cella) convergono alle somme di Kloosterman moltiplicate per la funzione di Bessel $J_1$.

3. Risultati Chiave

Il paper stabilisce tre teoremi principali:

Teorema 1.2.1 (Formula BK non raffinata, segni opposti)

Stabilisce un'uguaglianza assoluta tra una somma spettrale (su forme di Maass e serie di Eisenstein con $m_1 m_2 < 0$) e una somma geometrica di somme di Kloosterman generalizzate $H(m_1, m_2, c)$, trasformate tramite $H_\infty^-$.
$$\sum_{\pi} h_\infty(t_\pi) \sum_{\phi} a_\phi(m_1)a_\phi(m_2) + \text{Eisenstein} = \sum_{c} \frac{H(m_1, m_2, c)}{c} H_\infty^-\left(\frac{4\pi\sqrt{|m_1 m_2|}}{c}\right)$$

Teorema 1.2.2 (Formula BK raffinata, segni opposti)

Sotto le ipotesi geometriche e spettrali sulla funzione test $f$, la formula viene raffinata per includere esplicitamente gli autovalori di Hecke $\lambda_\pi(m)$ e i pesi $w(\pi, f)$. Inoltre, appare il fattore di parità $p(\pi) = (-1)^\epsilon$ delle rappresentazioni, che è cruciale nel caso di segni opposti.

Teorema 1.2.3 (Formula di Petersson per $\kappa = 2$)

Deriva la formula di traccia di Petersson per il peso 2 come limite del caso $\kappa > 2$.
$$\sum_{\pi \in F_2(f)} w(\pi, f) \lambda_\pi(m_1)\lambda_\pi(m_2) = \frac{1}{4\pi}\delta_{m_1=m_2}\delta - \frac{1}{2} \sum_{c} \frac{H(m_1, m_2, c)}{c} J_1\left(\frac{4\pi\sqrt{m_1 m_2}}{c}\right)$$
Questo risultato è ottenuto superando la non-integrabilità del nucleo per $\kappa=2$ tramite l'argomentazione di limite.

Corollario 1.3.1 (Equidistribuzione della Parità)

Come applicazione diretta, si dimostra un risultato di equidistribuzione per la parità delle rappresentazioni automorfe non ramificate all'infinito. Utilizzando funzioni test specifiche (tipo Gauss o iperboliche), si mostra che le rappresentazioni con parità pari e dispari sono distribuite equamente, con un errore controllato.

4. Significato e Impatto

• Completamento della Teoria: Questo lavoro colma una lacuna nella letteratura sulle formule di traccia relative, fornendo una derivazione rigorosa e unificata per i casi di segni opposti e per il peso 2, precedentemente trattati in modo frammentario o non derivati via pre-traccia.
• Flessibilità Adelica: Dimostra la potenza dell'approccio adelico nel gestire rappresentazioni locali non archimedee arbitrarie, permettendo di generalizzare le formule a livelli e condizioni di ramificazione complesse.
• Applicabilità alle Curve Ellittiche: La formula di Petersson per $\kappa=2$ è direttamente collegata alla teoria delle curve ellittiche (poiché le forme modulari di peso 2 corrispondono a queste curve). La capacità di derivare questa formula rigorosamente apre la strada a nuove applicazioni nella teoria dei numeri, in particolare nello studio dei momenti delle funzioni L associate a curve ellittiche.
• Metodologia Robusta: L'uso di troncamenti lisci e argomenti di limite per gestire la non-integrabilità del nucleo per $\kappa=2$ offre un modello metodologico per affrontare problemi simili in altri contesti di analisi armonica su gruppi di Lie.

In sintesi, il paper fornisce un quadro teorico solido e tecnico per l'uso delle formule di traccia relative in casi critici, estendendo la portata delle tecniche di Knightly e Li a scenari precedentemente inaccessibili con questo metodo.