The weight two and opposite sign cases for the Fourier relative trace formulas

1. 研究背景与问题 (Problem)

核心问题：
Petersson 公式和 Bruggeman-Kuznetsov (BK) 公式是解析数论中最重要的工具之一，广泛应用于 L-函数矩、子凸性界限、大筛法不等式及素数分布等领域。传统的推导方法主要基于 Poincaré 级数或 Jacquet-Zagier 发展的预迹公式（pre-trace formula）方法。

现有文献的缺口：
尽管 Knightly 和 Li 等人利用预迹公式方法成功推导了权重 $\kappa > 2$ 的全纯情形以及系数符号相同（$m_1 m_2 > 0$）的 Maass 形式情形，但在以下两个关键情形中，基于预迹公式的推导在文献中尚属空白或不够完善：

1. 符号相反情形（Opposite signs）：即 $m_1 m_2 < 0$ 的 Maass 形式情形。
2. 权重为 2 的全纯情形（Weight $\kappa = 2$）：即全纯模形式中权重 $\kappa = 2$ 的特例。

难点：

• 符号相反：几何侧（Geometric side）的离对角项（off-diagonal terms）在实无穷远点处的行为与符号相同情形不同，需要引入新的变换工具。
• 权重 $\kappa=2$：对于 $\kappa \ge 4$，离散级数 $D(\kappa)$ 的矩阵系数属于 $L^1(G)$，但在 $\kappa=2$ 时，该矩阵系数不属于 $L^1$，导致其关联的几何核在紧集上不一定绝对一致收敛，无法直接应用标准的迹公式推导。

2. 方法论 (Methodology)

作者采用阿德尔相对迹公式（Adelic Relative Trace Formula, RTF）框架，通过 Jacquet-Zagier 的预迹公式方法来解决上述问题。

2.1 核心策略

• 预迹公式展开：从全局函数 $f_A = f_\infty \otimes f$ 的几何核 $K_{geom}$ 出发，将其展开为谱侧（Spectral side，包含尖点谱、剩余谱和连续谱）和几何侧（Geometric side，包含轨道积分）。
• 测试函数选择：
  • 选取非阿基米德测试函数 $f$ 满足特定的几何假设（Geometric assumption，控制支撑集）和谱假设（Spectral assumption，如新形式投影子），以提取 Hecke 特征值。
  • 针对符号相反情形，引入修正的 Zagier 变换（Modified Zagier transform）。
  • 针对 $\kappa=2$ 情形，引入光滑截断（Smooth truncation）技术。

2.2 关键技术细节

1. 符号相反情形的处理：

   • 在几何侧的离对角项中，传统的 Zagier 变换 $Z(t)$ 不再适用。作者定义了一个修正的 Zagier 变换 $M(t)$，其核函数涉及 $k(z+t, 1/z)$ 而非 $k(z+t, -1/z)$。
   • 通过复平面围道积分（Contour shift）和 Selberg 变换理论，证明了 $M(t)$ 的傅里叶变换与测试函数 $h_\infty$ 的变换 $H_\infty^-$ 之间的关系，其中 $H_\infty^-$ 涉及 $K_{2it}$ 贝塞尔函数和 $\sinh(\pi t)$ 项。
   • 利用这一关系，成功导出了符号相反情形下的 BK 公式。

2. 权重 $\kappa=2$ 的处理：

   • 由于 $D(2)$ 的矩阵系数不在 $L^1$ 中，作者构造了一个光滑截断函数 $\varrho_T$（基于双曲距离），定义截断后的测试函数 $f_\infty^T = f_\infty \cdot \varrho_T$。
   • 应用预迹公式于截断后的函数，得到依赖于参数 $T$ 的迹公式。
   • 极限论证：令 $T \to \infty$。
     • 谱侧：证明非离散级数（主级数）部分的贡献在极限下趋于 0（利用特征值的衰减估计和弱 Weyl 律），仅保留离散级数 $D(2)$ 的贡献。
     • 几何侧：证明截断后的轨道积分收敛。对角项（Diagonal term）收敛到非零值（对应 $\delta_{m_1=m_2}$），离对角项收敛到涉及 $J_1$ 贝塞尔函数的广义 Kloosterman 和。

3. 主要结果 (Key Results)

论文证明了三个核心定理，填补了文献空白：

3.1 未精炼的 BK 公式 (Theorem 1.2.1)

在最小假设下（仅要求 $f$ 非零且支撑集满足特定条件），证明了 $m_1 m_2 < 0$ 时的 BK 公式：
$$\sum_{\pi} h_\infty(t_\pi) \sum_{\phi} a_\phi(m_1)a_\phi(m_2) + \text{Eisenstein 项} = \sum_{c} \frac{H(m_1, m_2, c)}{c} H_\infty^-\left(\frac{4\pi\sqrt{|m_1 m_2|}}{c}\right)$$
其中 $H_\infty^-$ 是 $h_\infty$ 的特定变换，涉及 $K_{2it}$ 贝塞尔函数。

3.2 精炼的 BK 公式 (Theorem 1.2.2)

在引入几何假设和谱假设后，导出了更精细的公式。此时谱侧的求和项可以明确表达为 Hecke 特征值 $\lambda_\pi(m)$ 的乘积，并引入了奇偶性（Parity）因子 $p(\pi)$：
$$\sum_{\pi} p(\pi) h_\infty(t_\pi) w(\pi, f) \lambda_\pi(|m_1|)\lambda_\pi(|m_2|) + \dots = \sum_{c} \frac{H(m_1, m_2, c)}{c} H_\infty^-\left(\dots\right)$$
这一结果允许通过选择特定的测试函数来研究具有特定非阿基米德分量的自守表示的奇偶性分布。

3.3 权重为 2 的 Petersson 公式 (Theorem 1.2.3)

通过极限论证，证明了 $\kappa=2$ 时的全纯 Petersson 公式：
$$\sum_{\pi \in F_2(f)} w(\pi, f) \lambda_\pi(m_1)\lambda_\pi(m_2) = \frac{1}{4\pi} \delta_{m_1=m_2} \delta - \frac{1}{2} \sum_{c} \frac{H(m_1, m_2, c)}{c} J_1\left(\frac{4\pi\sqrt{m_1 m_2}}{c}\right)$$
其中 $\delta$ 是局部权重的乘积，$J_1$ 是第一类贝塞尔函数。该公式包含了对角项（Diagonal term），这是与 BK 公式的重要区别。

3.4 奇偶性均匀分布 (Corollary 1.3.1)

作为 BK 公式的推论，证明了在特定测试函数下，具有指定非阿基米德分量的自守表示的奇偶性（Parity）在谱系中是均匀分布的。即奇偶性为 0 和 1 的表示数量大致相等，误差项受控。

4. 意义与贡献 (Significance)

1. 理论完整性：

   • 完成了预迹公式方法在 $GL(2)$迹公式中的关键拼图，特别是解决了长期存在的符号相反情形和$\kappa=2$ 情形的技术障碍。
   • 证明了该方法不仅适用于 $\kappa > 2$，也能通过截断技术处理临界权重 $\kappa=2$。

2. 工具创新：

   • 引入了修正的 Zagier 变换，成功处理了符号相反情形下几何核的解析性质。
   • 展示了如何通过光滑截断和极限过程处理非 $L^1$ 矩阵系数带来的收敛性问题，为处理其他临界情形提供了范例。

3. 应用潜力：

   • 椭圆曲线：权重 $\kappa=2$ 的全纯形式与 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线密切相关。该公式为研究椭圆曲线的 L-函数（如中心值非零性、矩问题）提供了新的解析工具。
   • 奇偶性分布：证明了自守表示奇偶性的均匀分布，这对于理解自守形式族的统计性质至关重要。
   • 推广性：虽然论文主要在 $\mathbb{Q}$ 上讨论，但作者指出结果可推广至任意数域，为更广泛的数论问题（如广义 Ramanujan 猜想相关研究）提供了基础。

总结

Matteo Di Scipio 的这篇论文通过严谨的阿德尔相对迹公式分析，克服了符号相反和权重为 2 情形下的解析困难，成功推导并精炼了相应的 Petersson 和 Bruggeman-Kuznetsov 公式。这项工作不仅完善了迹公式的理论体系，也为解析数论中关于 L-函数和自守形式统计性质的研究提供了强有力的新工具。