The weight two and opposite sign cases for the Fourier relative trace formulas

1. Problématique et Contexte

Les formules de Petersson et de Bruggeman-Kuznetsov (PBK) sont des outils fondamentaux en théorie des nombres analytique, utilisés pour étudier les moments de fonctions $L$, les inégalités de crible, la non-annulation de fonctions $L$ et la distribution des zéros.

Traditionnellement, ces formules sont obtenues par deux approches principales :

1. L'approche classique via les séries de Poincaré.
2. L'approche par la formule pré-trace (développée par Jacquet et Zagier, exposée par Knightly et Li), qui offre une plus grande flexibilité dans le choix des familles de représentations locales non-archimédiennes.

Cependant, la littérature présente des lacunes spécifiques que cet article vise à combler :

• Le cas des signes opposés ($m_1 m_2 < 0$) : La formule de Bruggeman-Kuznetsov pour les formes de Maass avec des coefficients de Fourier de signes opposés n'avait pas été dérivée rigoureusement via l'approche adélique de la formule pré-trace, contrairement au cas des mêmes signes.
• Le cas holomorphe de poids $\kappa = 2$ : La dérivation de la formule de Petersson pour le poids $\kappa = 2$ est problématique car le coefficient matriciel associé à la série discrète $D(2)$ n'est pas dans $L^1(G(\mathbb{R}))$. Cela empêche la convergence absolue et uniforme du noyau géométrique, rendant l'application directe de la formule pré-trace impossible.

L'objectif de l'article est de fournir une preuve adélique rigoureuse pour ces deux cas manquants, en utilisant des hypothèses géométriques et spectrales sur la fonction test.

2. Méthodologie

L'auteur utilise l'approche de la formule relative adélique (Relative Trace Formula - RTF). La stratégie générale consiste à comparer deux développements d'un noyau intégral $I$ : un développement spectral (somme sur les représentations automorphes) et un développement géométrique (somme sur les orbites).

A. Cas des signes opposés (Théorèmes 1.2.1 et 1.2.2)

Pour le cas où $m_1 m_2 < 0$ (signes opposés) :

1. Spectre : L'auteur calcule la contribution cuspidale et continue. Une différence cruciale par rapport au cas de mêmes signes est l'apparition d'un facteur de parité $p(\pi)$ (lié au caractère central et au type de la représentation à l'infini) dans la somme spectrale.
2. Géométrie : Le terme diagonal (première cellule) s'annule en raison du support de la fonction test $f_\infty$ (supporté sur $G^+(\mathbb{R})$). Le terme non diagonal (deuxième cellule) nécessite un traitement spécial.
3. Transformation de Zagier modifiée : Pour traiter le terme géométrique, l'auteur introduit une transformation de Zagier modifiée $M(t)$, définie par une intégrale sur le demi-plan supérieur avec un noyau $k(z+t, 1/z)$. Il démontre que la transformée de Fourier de $M(t)$ est liée à la fonction test spectrale $h_\infty$ via une intégrale impliquant la fonction de Bessel modifiée $K_{2it}$ et le terme $\sinh(\pi t)t$.
4. Hypothèses : Le résultat est d'abord obtenu sous des hypothèses minimales, puis raffiné en imposant des hypothèses géométriques (support contrôlé de $f$) et spectrales (fonction test agissant comme projecteur sur les nouvelles formes ou sur des sous-espaces spécifiques). Cela permet d'exprimer les sommes de Fourier en termes de valeurs propres de Hecke $\lambda_\pi(m)$.

B. Cas holomorphe de poids $\kappa = 2$ (Théorème 1.2.3)

Pour le cas $\kappa = 2$, la difficulté réside dans la non-intégrabilité du coefficient matriciel de la série discrète $D(2)$.

1. Troncature lisse : L'auteur introduit une fonction de troncature lisse $\varrho_T$ (dépendant de la distance hyperbolique) pour régulariser la fonction test $f_\infty$. On considère la limite $T \to \infty$.
2. Analyse spectrale : Il faut estimer la contribution des représentations qui ne sont pas de poids 2 (séries principales et spectre continu). L'auteur prouve que les valeurs propres de l'opérateur tronqué sur ces représentations tendent vers 0 lorsque $T \to \infty$, grâce à des estimations de décroissance rapide (intégration par parties et propriétés des dérivées de la fonction de troncature).
3. Analyse géométrique :
   • Le terme diagonal (première cellule) ne s'annule pas et fournit le terme $\delta_{m_1=m_2}$ caractéristique de la formule de Petersson.
   • Le terme non diagonal (deuxième cellule) conduit aux sommes de Kloosterman généralisées pondérées par la fonction de Bessel $J_1$.
4. Passage à la limite : En combinant les estimations de convergence absolue sur le côté géométrique (utilisant les bornes de Weyl pour les sommes de Kloosterman) et la convergence spectrale, on récupère la formule de Petersson pour $\kappa = 2$.

3. Résultats Principaux

L'article établit trois théorèmes majeurs :

• Théorème 1.2.1 (Formule BK non raffinée, signes opposés) : Établit une égalité entre une somme spectrale (incluant les formes de Maass et les séries d'Eisenstein avec un facteur de parité $p(\pi)$) et une somme géométrique impliquant des sommes de Kloosterman généralisées $H(m_1, m_2, c)$ et une transformée $H^-_\infty$ (liée à $K_{2it}$).
• Théorème 1.2.2 (Formule BK raffinée, signes opposés) : Sous les hypothèses géométriques et spectrales, la formule est réécrite en termes de valeurs propres de Hecke $\lambda_\pi(m)$ et de poids $w(\pi, f)$. C'est la version la plus utile pour les applications arithmétiques.
• Théorème 1.2.3 (Formule de Petersson, poids 2) : Dérive la formule de Petersson pour $\kappa = 2$ via un argument de limite. Le résultat inclut un terme diagonal $\delta_{m_1=m_2}$ et un terme de sommes de Kloosterman pondéré par $J_1$.

Corollaire 1.3.1 (Équidistribution de la parité) :
En utilisant la formule BK pour les signes opposés avec des fonctions test spécifiques (gaussiennes ou à support compact), l'auteur démontre un résultat d'équidistribution pour la parité $p(\pi)$ des représentations automorphes non ramifiées à l'infini. La somme des poids sur les représentations de parité paire est asymptotiquement égale à celle des représentations de parité impaire, à une erreur contrôlée près.

4. Contributions Techniques Clés

1. Transformation de Zagier modifiée : L'introduction et l'analyse de la transformée $M(t)$ pour le cas des signes opposés, permettant de relier le noyau géométrique à la transformée de Fourier $H^-_\infty$ via la fonction $K_{2it}$.
2. Argument de troncature pour $\kappa=2$ : La résolution du problème de convergence pour le poids 2 en utilisant une troncature lisse basée sur la distance hyperbolique, avec des estimations précises sur la décroissance des valeurs propres pour les représentations hors de la série discrète $D(2)$.
3. Généralisation adélique : La preuve est menée dans le cadre adélique sur $\mathbb{Q}$, ce qui permet une généralisation naturelle à des corps de nombres arbitraires (bien que l'article se concentre sur $\mathbb{Q}$ pour la clarté).
4. Hypothèses de raffinement : L'utilisation systématique des hypothèses géométriques et spectrales pour isoler les nouvelles formes et obtenir des formules avec des poids explicites et des valeurs propres de Hecke.

5. Signification et Impact

Ce travail comble une lacune importante dans la théorie des formules de trace relatives.

• Applications potentielles : La formule pour les signes opposés est cruciale pour l'étude des moments de fonctions $L$ et des problèmes de non-annulation où les signes des coefficients de Fourier jouent un rôle.
• Poids 2 : La dérivation rigoureuse de la formule de Petersson pour $\kappa=2$ est particulièrement pertinente car ce poids est lié aux courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$ (via la correspondance de Shimura-Taniyama-Weil). Cela ouvre la voie à de nouvelles applications en théorie des nombres, notamment dans l'étude des points rationnels et des valeurs centrales de fonctions $L$ associées aux courbes elliptiques.
• Robustesse : La méthode proposée, basée sur des hypothèses minimales et des arguments de troncature, offre un cadre flexible qui pourrait être adapté à d'autres contextes de poids critiques ou de signes mixtes.

En résumé, l'article fournit une fondation analytique solide pour l'utilisation des formules de trace dans des régimes précédemment inaccessibles ou mal compris, renforçant ainsi la boîte à outils de l'arithmétique analytique moderne.