Regression Adjustments for Double Randomization in Two-Sided Marketplaces

1. Il Problema: Interferenza e Disegni di Sperimentazione

Le piattaforme digitali a due lati (es. marketplace con acquirenti e venditori) presentano sfide uniche per la sperimentazione A/B standard. In questi contesti, l'intervento su un gruppo di unità (es. acquirenti) può influenzare i risultati di unità non trattate (es. venditori) attraverso interazioni strategiche o "spillover".
I disegni di Randomizzazione Multipla (MRD - Multiple Randomization Designs) sono stati proposti per gestire questa interferenza. In un MRD, sia gli acquirenti ($I$) che i venditori ($J$) vengono randomizzati indipendentemente. L'outcome $y_{ij}$ è osservato per ogni coppia acquirente-venditore.
Tuttavia, una lacuna significativa nella letteratura esistente sugli MRD è la mancanza di metodi per aggiustare le regressioni (covariate adjustment) per migliorare la precisione degli stimatori. L'uso ingenuo di regressioni OLS (come l'ANCOVA standard) in questi contesti può, paradossalmente, peggiorare la varianza asintotica rispetto a uno stimatore non aggiustato, specialmente in esperimenti sbilanciati.

2. Metodologia e Quadro Teorico

Gli autori propongono una metodologia di aggiustamento tramite regressione ottimale basata su un quadro di popolazione finita, dove gli outcome potenziali sono fissi e l'unica casualità deriva dalla randomizzazione dei trattamenti.

A. Stimatori di Imputazione

Il cuore della metodologia è la classe di stimatori di imputazione non interagenti:
$$\hat{\tau}_c(\beta) = \sum_{\gamma \in \Gamma} c_\gamma \frac{1}{I_\gamma J_\gamma} \sum_{(i,j) \in \gamma} (y_{ij} - X_{ij}^\top \beta)$$
Dove $\Gamma = \{tr, ib, is, cc\}$ rappresenta i quattro gruppi di trattamento (Trattamento-Trattamento, Trattamento-Controllo, Controllo-Trattamento, Controllo-Controllo) e $c$ è un vettore che definisce l'effetto causale di interesse (es. effetto diretto, totale, o spillover).

B. Ottimizzazione della Varianza

L'obiettivo è trovare il vettore di coefficienti $\beta$ che minimizza la varianza asintotica dello stimatore $\hat{\tau}_c(\beta)$, senza assumere un modello lineare corretto per gli outcome potenziali.
Gli autori derivano una formula chiusa per la varianza in funzione di $\beta$, che risulta essere una forma quadratica positiva definita:
$$\text{Var}(\hat{\tau}_c(\beta)) = \beta^\top Z \beta - 2u^\top \beta + \text{Costante}$$
Dove $Z$ e $u$ sono combinazioni lineari di matrici di covarianza e vettori di covarianza tra covariate e outcome, calcolati all'interno di ciascun gruppo $\gamma$.
La soluzione ottimale $\tilde{\beta}_c = Z^{-1}u$ è stimabile dai dati osservati, poiché non dipende da contrasti di outcome potenziali non identificabili.

C. Interpretazione come Regressione Ponderata

Un risultato sorprendente è che, per l'effetto diretto, lo stimatore plug-in $\hat{\tau}_{dir}(\hat{\beta}_{dir})$ corrisponde esattamente al coefficiente $\tau$ in una regressione ai minimi quadrati pesati (WLS) con effetti fissi a due vie interagenti:
$$\frac{y_{ij}}{w_{ij}} \sim (\mu + \mu^B_i + \mu^S_j) + (\alpha + \alpha^B_i + \alpha^S_j)W^B_i + (\delta + \delta^B_i + \delta^S_j)W^S_j + (\tau + \tau^B_i + \tau^S_j)W^B_i W^S_j + X_{ij}^\top \beta$$
I pesi $w_{ij}$ sono inversamente proporzionali alla dimensione dei gruppi, un concetto affine alla "regressione della tirannia della minoranza" (Tyranny-of-the-Minority) nota negli esperimenti cross-sectional.

3. Contributi Chiave

1. Regolamenti di Regressione Ottimali: Derivano i coefficienti $\beta$ ottimali per effetti totali, diretti e di spillover in MRD. Dimostrano che questi coefficienti sono stimabili e generalmente diversi dalle regressioni OLS standard (ANCOVA).
2. Robustezza del Modello e Principio "No-Harm": Gli stimatori proposti soddisfano un principio di "nessun danno": sono consistenti e asintoticamente normali anche se il modello di regressione è specificato erroneamente. In termini di varianza asintotica, sono sempre superiori o uguali agli stimatori non aggiustati e all'ANCOVA ingenua.
3. Nuovi Strumenti Teorici per MRD: Migliorano la teoria esistente degli MRD (basata su [MVR+24]).
   • Dimostrano un Teorema del Limite Centrale (CLT) per somme a doppia randomizzazione in distanza di Wasserstein-1, che richiede condizioni più deboli (es. non richiede outcome limitati o una varianza inferiore specifica $\Omega(I^{-1} + J^{-1})$).
   • Forniscono stime di varianza conservative che sono consistenti anche in regimi di scala dove la varianza decade più rapidamente (es. $\Theta((IJ)^{-1})$).
4. Inferenza Conservativa: Propongono intervalli di confidenza conservativi basati su stime di varianza robuste, garantendo una copertura asintotica corretta.

4. Risultati Sperimentali e Simulazioni

Le simulazioni numeriche confrontano tre metodi:

1. Stimatore MRD non aggiustato.
2. ANCOVA (regressione OLS standard con covariate).
3. Stimatore Ottimale Plug-in (proposto).

Risultati principali:

• Efficienza: L'approccio ottimale mostra un aumento significativo dell'efficienza (riduzione della varianza) rispetto all'ANCOVA e allo stimatore non aggiustato, specialmente in esperimenti sbilanciati (dove il numero di unità trattate è piccolo rispetto al totale).
• Rischio dell'ANCOVA: In scenari sbilanciati, l'ANCOVA può avere una varianza asintotica maggiore rispetto allo stimatore non aggiustato, confermando i risultati di Freedman (2008) ma estendendoli al contesto MRD.
• Intervalli di Confidenza: Gli intervalli di confidenza ottenuti con l'approccio ottimale sono più corti mantenendo la copertura desiderata.
• Caso dell'Effetto Diretto: La simulazione mostra che l'approccio ottimale corrisponde alla regressione TWFE pesata, offrendo una precisione superiore.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro colma una lacuna critica nella pratica della sperimentazione nelle piattaforme a due lati.

• Pratica: Fornisce ai ricercatori e agli analisti di dati un metodo robusto e facile da implementare (tramite regressione pesata) per aumentare la potenza statistica degli esperimenti MRD, permettendo di rilevare effetti più piccoli con lo stesso numero di unità.
• Teorico: Estende la teoria della regressione adjustment (precedentemente limitata agli esperimenti cross-sectional di Lin, 2013) a disegni complessi con interferenza strutturata. Dimostra che l'ottimizzazione della varianza in questi contesti richiede pesi specifici e non semplici OLS separati per gruppo.
• Scalabilità: I nuovi strumenti teorici (CLT in Wasserstein) permettono di analizzare scenari di scala prima non coperti, rendendo la metodologia applicabile a marketplace reali dove le interazioni attive sono spesso sparse.

In sintesi, il paper stabilisce che per gli esperimenti MRD, l'aggiustamento delle covariate non è solo una questione di specificazione del modello, ma richiede una ottimizzazione strutturale dei pesi per massimizzare l'efficienza, offrendo una soluzione superiore ai metodi standard di regressione.