Regression Adjustments for Double Randomization in Two-Sided Marketplaces

1. El Problema: Interferencia en Mercados de Dos Lados

Los mercados de dos lados (plataformas que conectan compradores y vendedores) son omnipresentes en la economía digital. Los diseños experimentales estándar (como las pruebas A/B) a menudo fallan en estos entornos debido a la interferencia: las intervenciones en un grupo (ej. compradores) afectan los resultados de unidades en el otro grupo (ej. vendedores) y viceversa, violando el supuesto de independencia de las observaciones.

Para abordar esto, se utilizan Diseños de Múltiple Aleatorización (MRD, por sus siglas en inglés). En un MRD, tanto los compradores como los vendedores se aleatorizan independientemente. Esto crea cuatro grupos de pares comprador-vendedor:

1. Tratados (tr): Ambos lados tratados.
2. Control limpio (cc): Ningún lado tratado.
3. Spillover de comprador (ib): Solo el comprador tratado.
4. Spillover de vendedor (is): Solo el vendedor tratado.

El desafío: Aunque los estimadores no ajustados en MRD pueden capturar efectos directos y de desbordamiento (spillover), sufren de baja potencia estadística, especialmente cuando un lado del mercado es pequeño. La literatura existente carecía de metodologías robustas para incorporar ajustes de regresión con covariables (como resultados históricos o características individuales) para mejorar la precisión de estos estimadores, similar a lo que se hace en experimentos aleatorizados clásicos. Además, se desconocía si los ajustes de regresión estándar (como ANCOVA) eran óptimos o incluso seguros en este contexto.

2. Metodología

Los autores proponen un marco basado en la inferencia de diseño (finite population framework), donde los resultados potenciales se tratan como fijos y la única aleatoriedad proviene de la asignación del tratamiento.

A. Estimadores de Imputación

Se define una clase general de estimadores de regresión ajustados para un estimando causal $\tau_c$ (que puede ser el efecto directo, total o de desbordamiento):
$$\hat{\tau}_c(\beta) = \sum_{\gamma \in \Gamma} c_\gamma \frac{1}{I_\gamma J_\gamma} \sum_{(i,j) \in \gamma} (y_{ij} - X_{ij}^\top \beta)$$
Donde:

• $\gamma$ representa los cuatro grupos (tr, ib, is, cc).
• $X_{ij}$ son las covariables.
• $\beta$ es un vector de coeficientes de ajuste.

B. Derivación de la Ajuste Óptimo

El objetivo principal es encontrar el vector $\beta$ que minimiza la varianza asintótica del estimador. A diferencia de los experimentos clásicos donde el ajuste óptimo a menudo coincide con la regresión OLS interactuada (método de Lin), en MRD la estructura de la varianza es más compleja debido a la doble aleatorización.

Los autores demuestran que:

1. La varianza del estimador ajustado es una forma cuadrática positiva definida en $\beta$.
2. El $\beta$ óptimo ($\tilde{\beta}$) depende de cantidades de la población finita (varianzas y covarianzas de los resultados y covariables dentro de los grupos).
3. Hallazgo crucial: Aunque $\tilde{\beta}$ depende teóricamente de resultados potenciales no observables, existe un estimador consistente ($\hat{\beta}$) que puede calcularse únicamente a partir de los datos observados.

C. Interpretación como Regresión Ponderada

Para el efecto directo, el estimador plug-in $\hat{\tau}_{dir}(\hat{\beta})$ resulta ser equivalente al coeficiente $\tau$ en una regresión de mínimos cuadrados ponderados (WLS) con efectos fijos de dos vías interactuados:
$$\frac{y_{ij}}{w_{ij}} \sim (\mu + \mu^B_i + \mu^S_j) + (\alpha + \alpha^B_i + \alpha^S_j)W^B_i + \dots + X_{ij}^\top \beta$$
Donde los pesos $w_{ij}$ dependen del tamaño de los grupos ($I_\gamma, J_\gamma$). Esta estructura se asemeja a la regresión "Tiranía de la Minoría" (Tyranny-of-the-Minority) conocida en experimentos transversales, dando más peso a los grupos más pequeños para reducir la varianza.

D. Nuevas Herramientas Teóricas (CLT)

Para justificar la inferencia, los autores desarrollan un Teorema del Límite Central (CLT) mejorado para sumas doblemente aleatorizadas.

• Utilizan el método de Stein y herramientas de concentración de medida para distancias de Wasserstein ($L_1$).
• Este nuevo CLT relaja las suposiciones de acotamiento y de cota inferior de varianza requeridas en trabajos anteriores (como [MVR+24]), permitiendo la normalidad asintótica incluso en escenarios con variación de filas/columnas que se desvanece (común en mercados con interacciones dispersas).

3. Contribuciones Clave

1. Ajustes de Regresión Óptimos para MRD: Derivan la forma explícita de los coeficientes $\beta$ que minimizan la varianza para efectos directos, totales y de desbordamiento, sin asumir un modelo lineal correcto para los resultados.
2. Estimabilidad y "No-Harm": Demuestran que el ajuste óptimo es estimable a partir de datos observados y que el estimador resultante es consistente y asintóticamente normal. Cumplen un principio de "no daño" (no-harm principle): en muestras grandes, el método óptimo es siempre al menos tan eficiente como el estimador no ajustado o el ajuste ANCOVA ingenuo.
3. Diferencias con Experimentos Clásicos:
   • A diferencia de los experimentos A/B estándar, el ajuste óptimo en MRD no es simplemente una regresión OLS estándar ni una regresión OLS interactuada por grupo (método de Lin).
   • El ajuste óptimo para el efecto directo requiere una regresión ponderada con efectos fijos interactuados.
   • El ajuste ANCOVA estándar (regresión lineal simple con covariables) puede aumentar la varianza asintótica en experimentos desbalanceados, un fenómeno que se extiende desde los hallazgos de Freedman (2008) a los MRD.
4. Inferencia Conservadora: Proponen métodos para construir intervalos de confianza conservadores utilizando estimadores de varianza mejorados, válidos bajo las nuevas condiciones del CLT.

4. Resultados y Simulaciones

Los autores validan sus métodos mediante simulaciones numéricas en dos escenarios:

1. Datos Sintéticos Normales: Comparan el estimador no ajustado, ANCOVA y el ajuste óptimo (Opt).
   • Resultado: El ajuste óptimo supera consistentemente a los otros métodos. En experimentos desbalanceados (pocos tratados), ANCOVA tiene una varianza mayor que el estimador no ajustado, mientras que el ajuste óptimo reduce significativamente la varianza y la longitud de los intervalos de confianza.
2. Modelo de Mercado Realista (Creadores de Contenido y Anunciantes): Basado en un modelo de equilibrio de Nash con interferencia local.
   • Resultado: El ajuste óptimo mejora la eficiencia en la estimación de efectos de desbordamiento (spillover) en comparación con ANCOVA y métodos no ajustados, manteniendo la cobertura deseada de los intervalos de confianza.

5. Significado e Impacto

Este trabajo cierra una brecha teórica y práctica significativa en el diseño experimental para plataformas digitales:

• Viabilidad Práctica: Permite a los investigadores y científicos de datos ejecutar MRD con mayor potencia estadística, lo cual es crucial cuando el tamaño de una de las partes del mercado es limitado.
• Robustez del Modelo: Proporciona garantías de inferencia sin depender de supuestos de linealidad correctos, lo cual es vital en entornos complejos de mercado.
• Avance Teórico: Los nuevos resultados sobre el CLT para sumas doblemente aleatorizadas y la consistencia de los estimadores de varianza conservadores fortalecen la base teórica de los MRD más allá de las limitaciones de la literatura previa.

En resumen, el paper establece el estándar para el análisis de regresión en experimentos de doble aleatorización, demostrando que con la ponderación y el ajuste adecuados, se pueden obtener estimaciones mucho más precisas de los efectos causales en mercados de dos lados.