Sensitivity Analysis for Instrumental Variables Under Joint Relaxations of Monotonicity and Independence

1. Il Problema di Ricerca

Le variabili strumentali (IV) sono uno strumento fondamentale nelle scienze sociali per stimare effetti causali, in particolare l'Effetto Medio del Trattamento sui Compliers (LATE). Tuttavia, l'identificazione puntuale del LATE richiede assunzioni forti e spesso non verificabili:

1. Indipendenza: Lo strumento deve essere indipendente dai potenziali risultati e dai potenziali trattamenti, condizionatamente alle covariate osservate.
2. Monotonicità: Lo strumento non deve indurre alcun individuo a comportarsi in modo opposto alla sua assegnazione (assenza di "defiers" o ribelli).

La letteratura recente ha mostrato una crescente scetticismo verso queste assunzioni. La maggior parte degli studi di sensibilità analizza la violazione di una sola assunzione alla volta (es. solo indipendenza o solo monotonicità). Il problema affrontato da Picchetti è come valutare la robustezza delle stime IV quando entrambe le assunzioni vengono rilassate simultaneamente, e come quantificare fino a che punto le conclusioni qualitative (es. "l'effetto è positivo") rimangono valide.

2. Metodologia

L'autore sviluppa un approccio di identificazione parziale basato su un metodo di "frontiera di rottura" (breakdown frontier).

Parametrizzazione delle Violazioni

Il modello introduce due parametri di sensibilità che quantificano le deviazioni dalle assunzioni standard:

• Violazione dell'Indipendenza ($c$-dipendenza): Utilizza il concetto di c-dependence di Masten & Poirier (2018). Il parametro $c \in [0, 1]$ misura la massima differenza assoluta tra la probabilità di ricevere lo strumento condizionata ai potenziali risultati/trattamenti e la probabilità osservata di ricevere lo strumento (propensity score). Se $c=0$, l'indipendenza vale.
• Violazione della Monotonicità ($\pi_{def}$): Permette la presenza di "defiers" (individui che reagiscono in modo opposto all'assegnazione). Il parametro $\pi_{def}$ rappresenta la quota di defiers nella popolazione. L'autore impone il vincolo che la quota di defiers sia strettamente inferiore alla quota di compliers ($\pi_{def} < \pi_{co}$), garantendo che l'effetto del primo stadio rimanga positivo.

Identificazione Parziale

Sotto queste rilassate assunzioni, i parametri di interesse non sono più identificati puntualmente ma sono contenuti in insiemi identificati (bound):

1. Probabilità Potenziali: Vengono derivati limiti superiori e inferiori per le probabilità congiunte dei potenziali trattamenti e risultati.
2. Effetto Intenzione al Trattamento (ITT): Vengono costruiti i limiti per l'ITT (effetto dell'assegnazione) come funzione di $c$ e $\pi_{def}$.
3. LATE e ATE: Utilizzando i limiti dell'ITT e della quota di compliers, l'autore deriva gli insiemi identificati per il LATE (effetto sui compliers) e per l'Effetto Medio del Trattamento (ATE).

La Frontiera di Rottura (Breakdown Frontier)

Il contributo centrale è la definizione della breakdown frontier. Questa è la curva nel piano $(c, \pi_{def})$ che delimita la regione di robustezza.

• Definisce la combinazione massima di violazioni di indipendenza e monotonicità sotto la quale una specifica conclusione (es. $LATE > 0$) rimane valida.
• Permette di visualizzare i compromessi (trade-off): quanto è disposto a rilassare l'assunzione di indipendenza per mantenere la validità della conclusione se si ammette una certa quota di defiers?

3. Contributi Chiave

1. Rilassamento congiunto: È uno dei primi lavori a trattare sistematicamente la violazione simultanea di indipendenza e monotonicità in un setting IV con esiti binari.
2. Unità di misura comuni: Un vantaggio metodologico significativo è che entrambi i parametri di sensibilità ($c$ e $\pi_{def}$) sono misurati nelle stesse unità (probabilità), rendendo l'interpretazione del trade-off sulla frontiera di rottura intuitiva e diretta.
3. Inferenza Asintotica: L'autore propone stimatori non parametrici per le frontiere e ne deriva le proprietà asintotiche. Poiché le funzioni che definiscono i limiti sono Hadamard directionally differentiable ma non differenziabili in senso classico (a causa degli operatori min/max), l'inferenza standard (bootstrap non parametrico) non è consistente.
   • Viene proposta una procedura di inferenza basata sul metodo delta direzionale (Fang & Santos, 2018) e sull'uso di un derivatore numerico (Hong & Li, 2018) per costruire bande di confidenza uniformi valide.
4. Identificazione dell'ATE: Estende l'analisi anche all'ATE, mostrando come i limiti derivati si colleghino a quelli noti in letteratura (Balke & Pearl, 1997) quando le violazioni sono nulle.

4. Risultati

• Simulazioni Monte Carlo: Gli esperimenti mostrano che gli stimatori per le frontiere di rottura possiedono buone proprietà in campioni finiti. La distribuzione campionaria degli stimatori è simmetrica attorno alla vera frontiera e il bias è trascurabile. Le bande di confidenza ottenute tramite la procedura di bootstrap corretta mostrano una copertura empirica vicina al livello nominale.
• Applicazione Empirica: L'autore ri-analizza lo studio classico di Angrist & Evans (1998) sull'effetto della dimensione familiare sull'occupazione femminile (usando il sesso dei primi due figli come strumento).
  • I risultati indicano che la conclusione qualitativa dello studio originale (che un figlio in più riduce l'occupazione) è altamente sensibile a piccole violazioni.
  • La frontiera di rottura mostra che per mantenere la conclusione che l'effetto è negativo, la quota di defiers ammissibile è molto bassa (inferiore al 0.8%) e la violazione di indipendenza accettabile è minima (circa 0.4%).
  • Poiché queste soglie sono inferiori alle violazioni plausibili stimate tramite dati di controllo (es. preferenze per il sesso dei figli o correlazioni genetiche), le conclusioni dello studio originale appaiono fragili.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro offre un quadro rigoroso per la sensibilità degli studi IV, spostando il focus dalla ricerca di un "punto di verità" all'analisi della robustezza delle conclusioni qualitative.

• Per i ricercatori: Fornisce uno strumento per quantificare quanto le proprie conclusioni dipendano da assunzioni non verificabili, permettendo di comunicare l'incertezza in modo più trasparente.
• Per la letteratura: Dimostra che in molti casi famosi (come quello di Angrist & Evans), piccole deviazioni dalle assunzioni standard possono rendere i risultati non informativi, suggerendo cautela nell'interpretazione degli effetti causali stimati con IV quando la monotonicità o l'indipendenza non sono garantite al 100%.
• Innovazione statistica: La corretta gestione dell'inferenza per funzioni non differenziabili tramite il metodo delta direzionale e il bootstrap numerico rappresenta un avanzamento tecnico significativo per l'econometria della identificazione parziale.