Sensitivity Analysis for Instrumental Variables Under Joint Relaxations of Monotonicity and Independence

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Sensitivity Analysis for Instrumental Variables Under Joint Relaxations of Monotonicity and Independence" de Pedro Picchetti, estructurado según los puntos solicitados.

1. El Problema

Las técnicas de Variables Instrumentales (VI) son fundamentales en las ciencias sociales para estimar efectos causales. Sin embargo, su validez depende estrictamente de supuestos de identificación que a menudo son inobservables o difíciles de justificar:

• Independencia: El instrumento debe ser independiente de los resultados y tratamientos potenciales (condicionado a covariables).
• Monotonía: El instrumento no debe inducir a ningún individuo a actuar en contra de su asignación (no debe haber "desafiadores" o defiers).

En la práctica, los investigadores son cada vez más escépticos sobre la validez de estos supuestos. Si se violan, el Estimador de Efecto Local Promedio (LATE) deja de estar identificado puntualmente. La literatura existente suele analizar la sensibilidad a la violación de la independencia o de la monotonía por separado, pero no simultáneamente. El problema central que aborda este trabajo es: ¿Qué podemos inferir sobre los efectos del tratamiento cuando ambos supuestos (independencia y monotonía) se relajan simultáneamente, y cómo cuantificar la robustez de las conclusiones empíricas ante estas violaciones?

2. Metodología

El autor desarrolla un enfoque de frontera de descomposición (breakdown frontier) bajo un marco de identificación parcial.

A. Parametrización de las Violaciones

Se introducen dos parámetros de sensibilidad para cuantificar las desviaciones de los supuestos estándar:

1. Dependencia $c$ ($c$-dependence): Basado en Masten & Poirier (2018), este parámetro $c$ acota la distancia entre la probabilidad de recibir el instrumento dado los resultados/tratamientos potenciales y la probabilidad observada de asignación. Cuando $c=0$, se cumple la independencia.
2. Proporción de Desafiadores ($\pi_{def}$): Se relaja la monotonía permitiendo que exista una proporción de individuos que hacen lo contrario a su asignación. El autor asume que la proporción de desafiadores es estrictamente menor que la de cumplidores ($\pi_{def} < \pi_{co}$), lo que garantiza que el estimador de la primera etapa siga siendo positivo.

B. Identificación Parcial

El autor deriva conjuntos identificados (bounds) para:

• Probabilidades conjuntas de tratamientos y resultados potenciales.
• El efecto de intención de tratar (ITT).
• El LATE (para los cumplidores).
• El Efecto Promedio del Tratamiento (ATE).

Estos límites son funciones de los parámetros de sensibilidad $c$ y $\pi_{def}$. Se demuestra que bajo ciertas condiciones (como restricciones en las desigualdades de Fréchet), estos conjuntos son afilados (sharp).

C. La Frontera de Descomposición (Breakdown Frontier)

Se define la frontera de descomposición como el conjunto de pares $(c, \pi_{def})$ en el límite de la región de robustez. Es decir, representa la combinación más débil de supuestos (la mayor violación permitida) bajo la cual una conclusión específica (ej. "el efecto es positivo") sigue siendo válida.

• Región de Robustez: El conjunto de $(c, \pi_{def})$ donde el límite inferior del parámetro de interés es mayor que un umbral $\mu$.
• Frontera: La curva que separa la región donde la conclusión se mantiene de la región donde se rompe.

D. Estimación e Inferencia

• Estimadores: Se proponen estimadores de análogo muestral no paramétricos para los límites y las fronteras.
• Propiedades Asintóticas: Dado que los estimadores involucran operadores de máximo y mínimo (funciones no diferenciables en todos los puntos), la inferencia estándar no es válida. El autor utiliza el método delta para funciones direccionalmente diferenciables de Hadamard (Fang & Santos, 2018).
• Inferencia: Se propone un procedimiento de bootstrap consistente (basado en Hong & Li, 2018) para construir bandas de confianza uniformes para las fronteras de descomposición, superando la inconsistencia del bootstrap no paramétrico estándar en este contexto.

3. Contribuciones Clave

1. Relajación Conjunta: Es uno de los primeros trabajos que analiza la sensibilidad de las VI relajando simultáneamente la independencia y la monotonía, permitiendo evaluar el trade-off entre ambas violaciones.
2. Unidad Común de Medida: Una ventaja metodológica destacada es que ambos parámetros de sensibilidad ($c$ y $\pi_{def}$) se miden en las mismas unidades (probabilidad), lo que facilita la interpretación de la compensación (trade-off) en la frontera de descomposición.
3. Inferencia para Fronteras: Desarrolla una teoría de inferencia rigurosa para las fronteras de descomposición en presencia de no diferenciabilidad, proporcionando bandas de confianza uniformes válidas mediante un procedimiento de bootstrap numérico.
4. Extensión al ATE: Deriva conjuntos identificados para el Efecto Promedio del Tratamiento (ATE) bajo violaciones de ambos supuestos, reconociendo que cuando el LATE no está identificado, el ATE puede ser el parámetro de interés más relevante.

4. Resultados Principales

• Resultados Teóricos: Se derivan límites explícitos para el ITT, LATE y ATE que dependen de $c$ y $\pi_{def}$. Se establecen condiciones bajo las cuales estos límites son afilados.
• Simulaciones de Monte Carlo: Los experimentos muestran que los estimadores tienen buenas propiedades en muestras finitas. La distribución de los estimadores de la frontera es simétrica alrededor de la frontera verdadera y el sesgo es pequeño. Las bandas de confianza construidas con el método de bootstrap propuesto tienen una cobertura adecuada.
• Aplicación Empírica (Angrist & Evans, 1998): Se reexamina el estudio clásico sobre el efecto del tamaño de la familia en la empleabilidad femenina usando el sexo de los hijos como instrumento.
  • La frontera de descomposición muestra que la conclusión cualitativa de que "un hijo adicional reduce la empleabilidad" es altamente sensible.
  • Para que la conclusión se mantenga, la violación de la independencia ($c$) no puede superar ~0.004, y la proporción de desafiadores no puede superar ~0.008.
  • Estos umbrales son muy inferiores a las violaciones basales sugeridas por calibraciones externas (ej. preferencias por el sexo de los hijos o selección no observada), lo que sugiere que los resultados originales no son robustos ante violaciones modestas de los supuestos.

5. Significado e Impacto

Este trabajo proporciona una herramienta crucial para la evaluación de la credibilidad de los estudios que utilizan Variables Instrumentales.

• Transparencia: Permite a los investigadores y lectores visualizar exactamente cuánto deben creer en la validez de los supuestos para aceptar las conclusiones del estudio.
• Rigor Metodológico: Ofrece un marco formal para la sensibilidad que va más allá de los análisis de "qué pasaría si" (what-if) cualitativos, proporcionando límites cuantitativos y procedimientos de inferencia estadística válidos.
• Reevaluación de Literatura: La aplicación a Angrist & Evans (1998) demuestra que incluso en estudios emblemáticos, las conclusiones pueden ser frágiles ante violaciones sutiles de la independencia y la monotonía, lo que invita a un escepticismo saludable y a una mayor rigurosidad en la justificación de los instrumentos.

En resumen, Picchetti ofrece un marco unificado para la identificación parcial en VI que cuantifica la fragilidad de las inferencias causales cuando los supuestos de identificación no son perfectos, proporcionando tanto la teoría matemática como las herramientas empíricas necesarias para su aplicación.