Sensitivity Analysis for Instrumental Variables Under Joint Relaxations of Monotonicity and Independence

1. Problématique et Contexte

Les variables instrumentales (VI) sont un outil fondamental en économétrie pour identifier les effets causaux, notamment l'effet moyen du traitement local (LATE). Cependant, l'identification ponctuelle repose sur des hypothèses fortes et souvent invérifiables :

1. Indépendance : L'instrument est indépendant des résultats potentiels et des traitements potentiels, conditionnellement aux covariables.
2. Monotonie : L'instrument affecte le traitement dans la même direction pour tous les individus (absence de « défieurs », c'est-à-dire d'individus qui font l'inverse de ce que l'instrument suggère).

La littérature récente exprime un scepticisme croissant face à la validité de ces hypothèses dans les études observationnelles. L'article aborde le problème suivant : Que peut-on apprendre sur les effets causaux lorsque les hypothèses d'indépendance et de monotonie sont simultanément violées ? L'objectif est de quantifier la sensibilité des estimations du LATE (et de l'effet moyen global, ATE) à ces violations.

2. Méthodologie

L'auteur développe une approche de frontière de décomposition (breakdown frontier) basée sur l'identification partielle.

A. Paramétrisation des violations

L'article introduit deux paramètres de sensibilité pour quantifier les écarts par rapport aux hypothèses standard :

• Violation de l'indépendance ($c$-dépendance) : Inspiré de Masten & Poirier (2018), l'auteur suppose que la probabilité de recevoir l'instrument conditionnelle aux résultats potentiels et au traitement diffère de la propension observée d'au plus $c$. Formellement : $|\mathbb{P}(Z=1|Y, D, X) - \mathbb{P}(Z=1|X)| \leq c$.
• Violation de la monotonie (Partage de défieurs) : Au lieu d'imposer un partage de défieurs nul ($\pi_{def} = 0$), l'auteur permet un partage strictement positif mais inférieur au partage de compliants ($\pi_{def} < \pi_{co}$). Ce paramètre mesure la déviation par rapport à l'hypothèse de monotonie stricte.

B. Identification Partielle

Sous ces hypothèses relaxées, les paramètres ne sont plus identifiés ponctuellement. L'auteur dérive des ensembles identifiés (bornes) pour :

1. Les probabilités conjointes des résultats et traitements potentiels.
2. Les effets de l'intention de traiter (ITT).
3. Le LATE (pour les compliants) et l'ATE (pour toute la population).

Les bornes sont exprimées comme des fonctions des paramètres de sensibilité $c$ et $\pi_{def}$. L'article établit les conditions sous lesquelles ces ensembles sont affûtés (sharp), c'est-à-dire qu'ils ne contiennent que des valeurs réalisables par des modèles de données compatibles avec les données observées et les hypothèses relaxées.

C. Frontière de Décomposition (Breakdown Frontier)

C'est le cœur de la contribution méthodologique. La frontière de décomposition est définie comme l'ensemble des paires $(c, \pi_{def})$ sur la frontière de la région de robustesse.

• Région de robustesse : L'ensemble des combinaisons de violations pour lesquelles une conclusion spécifique (ex: LATE > 0) reste vraie.
• Interprétation : La frontière indique la combinaison maximale de violations d'indépendance et de monotonie que l'on peut tolérer tout en maintenant la conclusion qualitative de l'étude. Une caractéristique clé est que les deux paramètres sont mesurés dans la même unité (probabilité), facilitant l'analyse des compromis (trade-offs).

D. Inférence et Estimation

• Estimateurs : L'auteur propose des estimateurs non paramétriques (analogues d'échantillon) pour les bornes et les frontières.
• Propriétés asymptotiques : En raison de la présence d'opérateurs $\min$ et $\max$ dans les formules des bornes, les fonctionnels sont directionnellement différentiables de Hadamard mais pas différentiables au sens classique. L'auteur utilise le théorème Delta pour fonctions directionnellement différentiables (Fang & Santos, 2018) pour établir la convergence en distribution des estimateurs vers un processus aléatoire non gaussien.
• Bootstrap : Les méthodes de bootstrap standard échouent pour ces fonctionnels. L'auteur propose une procédure de bootstrap valide basée sur l'estimation numérique de la dérivée de Hadamard (Hong & Li, 2018) pour construire des bandes de confiance uniformes.

3. Résultats Principaux

Résultats Théoriques

• Bornes pour le LATE et l'ATE : Des formules analytiques sont dérivées pour les bornes inférieures et supérieures du LATE et de l'ATE en fonction de $c$ et $\pi_{def}$.
• Sharpness : Les conditions nécessaires pour que les ensembles identifiés soient affûtés sont précisées.
• Convergence : Les estimateurs convergent à la vitesse $\sqrt{N}$ vers un processus aléatoire tight dans l'espace $l^\infty$.

Résultats Empiriques (Application à Angrist & Evans, 1998)

L'auteur réexamine l'étude célèbre sur l'effet de la taille de la famille sur l'emploi des femmes (instrument : même sexe des deux premiers enfants).

• Calibration : Les violations sont calibrées par rapport à des benchmarks empiriques (sélection sur observables pour $c$, enquêtes sur les préférences de sexe pour $\pi_{def}$).
• Conclusion de sensibilité : La frontière de décomposition estimée montre que la conclusion qualitative de l'étude originale (l'effet négatif de la taille de la famille sur l'emploi) n'est robuste que sous des violations extrêmement faibles.
  • Si l'indépendance est supposée vraie ($c=0$), le partage de défieurs toléré est inférieur à 0,008 (en dessous du seuil de 0,018 suggéré par les enquêtes).
  • Si la monotonie est supposée vraie ($\pi_{def}=0$), la différence tolérée entre les propensions observées et non observées est d'environ 0,004 (en dessous du seuil de 0,011 calibré).
• Implication : Les conclusions de l'étude sont hautement sensibles aux violations simultanées de l'indépendance et de la monotonie. De petites déviations rendent les résultats non informatifs.

Simulations de Monte Carlo

Les simulations confirment les bonnes propriétés en échantillon fini des estimateurs et de la procédure d'inférence (bandes de confiance), montrant une faible biais et une couverture correcte.

4. Contributions Clés

1. Analyse conjointe des violations : Contrairement à la littérature qui traite souvent l'indépendance ou la monotonie séparément, cet article propose un cadre unifié pour analyser leurs violations simultanées.
2. Approche par Frontière de Décomposition : Application rigoureuse de la méthode de frontière de décomposition aux modèles VI avec non-compliance et résultats binaires, permettant une visualisation directe des compromis entre les types de violations.
3. Inférence Valide pour Fonctionnels Non Différentiables : Développement d'une procédure d'inférence (bootstrap numérique) adaptée aux fonctionnels directionnellement différentiables, résolvant un problème technique majeur dans l'estimation de bornes et de frontières.
4. Réévaluation Critique d'une Étude Canonique : Démonstration empirique que des résultats économétriques célèbres peuvent être fragiles face à des violations plausibles des hypothèses d'identification.

5. Signification et Impact

Cet article fournit aux chercheurs un outil robuste pour évaluer la crédibilité des études utilisant des variables instrumentales. Il déplace le débat de la question binaire « l'hypothèse est-elle vraie ? » vers une analyse quantitative : « Quelle est la magnitude maximale de violation que nos conclusions peuvent supporter ? ».

La méthodologie proposée permet de quantifier la robustesse des résultats qualitatifs (signe de l'effet) face à l'incertitude structurelle inhérente aux modèles d'identification partielle. L'application à l'étude d'Angrist & Evans sert d'avertissement important : même dans des contextes où l'instrument est considéré comme exogène, de petites violations de l'indépendance ou de la monotonie peuvent suffire à invalider les conclusions qualitatives. Cela encourage une plus grande prudence dans l'interprétation des résultats IV et une transparence accrue sur les hypothèses de sensibilité.