Multivariable automatic arrays and transcendence

Titolo: Array Automatici Multivariabili e Trascendenza

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nell'ambito della teoria dei numeri trascendenti e dell'approssimazione diofantea, esplorando l'interazione tra la teoria degli automi e le proprietà aritmetiche dei numeri reali.

• Contesto Storico: È noto che i numeri reali le cui espansioni in base $b$ sono generate da sequenze automatiche (o a bassa complessità combinatoria) tendono ad avere proprietà aritmetiche rigide. Un risultato fondamentale di Adamczewski e Bugeaud (2007) ha stabilito che se $(a_n)_{n \ge 0}$ è una sequenza di interi limitata e $b$-automatica, allora il numero reale $\alpha = \sum_{n \ge 0} a_n b^{-n}$ è o razionale o trascendente.
• L'Obiettivo: Gli autori estendono questo risultato al caso multidimensionale. Si considerano numeri reali definiti da serie multiple in cui i coefficienti sono generati da array automatici multidimensionali e le basi di espansione sono interi moltiplicativamente indipendenti.
• La Domanda Chiave: Data una serie della forma
  $$\alpha = \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{f(p_{n_1}^{(1)}, \dots, p_{n_r}^{(r)})}{a_1^{n_1} \cdots a_r^{n_r}}$$
  dove $a_1, \dots, a_r \ge 2$ sono interi moltiplicativamente indipendenti (i loro logaritmi sono linearmente indipendenti su $\mathbb{Q}$), $p^{(i)}$ sono sequenze automatiche limitate e $f$ è una funzione a valori interi, il numero $\alpha$ è necessariamente o razionale o trascendente?

2. Metodologia

La dimostrazione combina strumenti profondi dalla teoria degli automi e dalla teoria dell'approssimazione diofantea.

A. Proprietà delle Sequenze Automatiche (Lato Combinatorio)

• Condizione di "Stammering" (Balbettamento): Gli autori sfruttano il fatto che le sequenze automatiche soddisfano una condizione di ripetizione strutturata. In particolare, ogni sequenza automatica ammette prefissi della forma $U_n V_n^w$ (dove $w > 1$), con $U_n$ e $V_n$ parole finite, $|V_n|$ strettamente crescente e il rapporto $|U_n|/|V_n|$ limitato.
• Costruzione di Approssimanti Razionali: Sfruttando la proprietà di "stammering", per ogni $n$ viene costruita una sequenza ausiliaria $(p_k^{(i)})$ che coincide con la sequenza originale fino a un certo punto e diventa poi periodica. Questo permette di definire numeri razionali ausiliari $\alpha_n$ che approssimano $\alpha$.
• Struttura degli $\alpha_n$: Grazie alla periodicità, $\alpha_n$ può essere espresso come una frazione razionale esplicita:
  $$\alpha_n = \frac{P_n(a_1, \dots, a_r)}{\prod_{i=1}^r a_i^{r_n^{(i)}} (a_i^{s_n^{(i)}} - 1)}$$
  dove $P_n$ è un polinomio a coefficienti interi limitati e $r_n^{(i)}, s_n^{(i)}$ sono legati alle lunghezze delle parole $U_n$ e $V_n$.

B. Teorema del Sottospazio di Schmidt (Lato Diofanteo)

• Approssimazione Simultanea: Gli autori costruiscono un vettore $x_n \in \mathbb{Q}^{2r+1}$ le cui componenti sono legate alle potenze delle basi $a_i$ e al numeratore $P_n$.
• Applicazione del Teorema: Viene applicato il Teorema del Sottospazio di Schmidt (nella forma raffinata di Schlickewei). Questo teorema afferma che se un insieme di punti razionali soddisfa una certa disuguaglianza di approssimazione simultanea (legata all'altezza $H(x)$), allora questi punti devono giacere in un numero finito di sottospazi lineari propri.
• Stima dell'Errore: La condizione di "stammering" garantisce che la differenza $|\alpha - \alpha_n|$ decada sufficientemente velocemente (in termini esponenziali rispetto alle lunghezze delle parole) da soddisfare le ipotesi del Teorema del Sottospazio per un $\epsilon$ sufficientemente piccolo.

3. Risultati Principali

Il risultato centrale è il Teorema A:

Teorema A: Siano $r \ge 2$, $a_1, \dots, a_r \ge 2$ interi moltiplicativamente indipendenti. Siano $(p_n^{(i)})_{n \ge 0}$ sequenze limitate e $k_i$-automatiche per $i=1, \dots, r$, e sia $f: \mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}$ una funzione. Allora il numero reale
$$\alpha = \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{f(p_{n_1}^{(1)}, \dots, p_{n_r}^{(r)})}{a_1^{n_1} \cdots a_r^{n_r}}$$
è o razionale o trascendente.

Dettagli della Dimostrazione:

1. Si assume per assurdo che $\alpha$ sia algebrico irrazionale.
2. Si costruiscono le approssimazioni razionali $\alpha_n$ e i vettori associati $x_n$.
3. Si dimostra che il prodotto delle forme lineari associate a $x_n$ è sufficientemente piccolo rispetto all'altezza $H(x_n)$, violando il Teorema del Sottospazio a meno che i punti $x_n$ non giacciano in un sottospazio fisso.
4. Caso 1: Se i punti giacciono in un sottospazio che implica una relazione lineare con coefficiente non nullo per il termine costante, si deduce che $\alpha$ è razionale.
5. Caso 2: Se la relazione non coinvolge il termine costante, si ottiene un'equazione di tipo $S$-unit (unità $S$). Utilizzando il Teorema delle Unità Generalizzato e l'indipendenza lineare dei logaritmi delle basi $a_i$, si giunge a una contraddizione, poiché le sequenze di lunghezze $s_n^{(i)}$ sono strettamente crescenti e non possono soddisfare relazioni lineari fisse con coefficienti non nulli.

4. Contributi Chiave

• Generalizzazione Multidimensionale: Estende il teorema di Adamczewski-Bugeaud (caso unidimensionale) a serie multiple con basi moltiplicativamente indipendenti.
• Trattamento degli Array Automatici: Introduce e formalizza l'uso di array automatici multidimensionali (definiti tramite DFAO multidimensionali) come sorgenti di coefficienti per serie trascendenti.
• Sintesi di Metodi: Dimostra l'efficacia della combinazione tra la struttura ricorsiva delle sequenze automatiche (condizione di stammering) e la potenza del Teorema del Sottospazio di Schmidt in contesti di alta dimensionalità.

5. Significato e Prospettive

• Rigidità Aritmetica: Il risultato conferma un principio di "rigidità": i numeri definiti da strutture computazionali semplici (automatiche) non possono essere algebrici irrazionali, a meno che non siano razionali. Questo esclude la possibilità di numeri algebrici irrazionali con espansioni a bassa complessità combinatoria in basi multiple.
• Impatto sulla Teoria dei Numeri: Fornisce nuovi strumenti per classificare la natura aritmetica di numeri definiti da serie complesse, collegando la teoria della complessità computazionale (classi di tempo reale, automi) alla teoria di Galois e all'approssimazione diofantea.
• Domande Aperte: Gli autori sollevano la questione se il risultato valga per array automatici generali (non necessariamente prodotti di sequenze unidimensionali), suggerendo che le tecniche sviluppate potrebbero essere estese a problemi ancora più generali nella teoria della trascendenza multidimensionale.

In sintesi, il paper rappresenta un avanzamento significativo nella comprensione della natura dei numeri reali generati da automi in dimensioni superiori, confermando che la semplicità combinatoria impone vincoli aritmetici severi, escludendo l'esistenza di numeri algebrici irrazionali in questo contesto.