Multivariable automatic arrays and transcendence

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie des nombres transcendants et de la théorie des automates, explorant l'interaction entre la complexité combinatoire des suites et la nature arithmétique des nombres réels qu'elles définissent.

• Contexte historique : Les auteurs s'appuient sur des résultats classiques reliant la complexité des mots infinis (fonction de complexité des sous-mots) à la transcendance. Notamment, le théorème de Christol (liant les suites $p$-automatiques aux séries algébriques en caractéristique $p$) et le résultat majeur d'Adamczewski et Bugeaud (2007). Ce dernier a démontré que si une suite d'entiers bornée $(a_n)_{n \ge 0}$ est générée par un automate fini, alors le nombre réel $\alpha = \sum_{n \ge 0} a_n b^{-n}$ est soit rationnel, soit transcendant.
• Le problème ouvert : La question centrale abordée par Paul et Ray est de généraliser ce résultat au cadre multidimensionnel. Ils considèrent des nombres réels définis par des séries multiples impliquant des bases multiplicativement indépendantes et des tableaux générés par des suites automatiques.
• Formulation du problème : Soient $a_1, \dots, a_r \ge 2$ des entiers multiplicativement indépendants (c'est-à-dire que $\log a_1, \dots, \log a_r$ sont linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$). Soient $(p_n^{(i)})_{n \ge 0}$ ($i=1,\dots,r$) des suites automatiques bornées à valeurs entières. Pour une fonction $f: \mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}$, on définit le tableau $c_{n_1, \dots, n_r} = f(p_{n_1}^{(1)}, \dots, p_{n_r}^{(r)})$. L'objectif est d'étudier la nature du nombre :
  $$\alpha = \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{c_{n_1, \dots, n_r}}{a_1^{n_1} \cdots a_r^{n_r}}$$

2. Méthodologie

La preuve du résultat principal combine des outils de la théorie des automates (propriétés combinatoires) et de la théorie de l'approximation diophantienne (théorème du sous-espace).

A. Propriétés Combinatoires : Les suites "Stammering"

Les auteurs exploitent une propriété fondamentale des suites automatiques : la condition de stammering (ou "bégaiement").

• Définition : Une suite satisfait la condition $(\ast)_w$ (pour $w > 1$) si ses préfixes contiennent des blocs répétés de la forme $U_n V_n^w$ où la longueur de $V_n$ croît strictement et le rapport $|U_n|/|V_n|$ reste borné.
• Lien avec l'automatisme : Grâce au théorème de Cobham, toute suite automatique est une suite stammering. Cela implique que pour chaque dimension $i$, il existe des séquences de mots $U_n^{(i)}$ et $V_n^{(i)}$ permettant de construire des approximations périodiques de la suite originale.

B. Construction d'Approximations Rationnelles

Pour chaque $n$, les auteurs construisent une suite périodique $(p_k^{(n, i)})_{k \ge 0}$ qui coïncide avec la suite automatique originale sur un préfixe long et devient ensuite périodique.

• Ils définissent un nombre rationnel auxiliaire $\alpha_n$ en remplaçant les suites originales par ces suites périodiques dans la série définissant $\alpha$.
• Grâce à la périodicité, $\alpha_n$ peut être exprimé explicitement comme une fraction rationnelle :
  $$\alpha_n = \frac{P_n(a_1, \dots, a_r)}{\prod_{i=1}^r a_i^{r_n^{(i)}} (a_i^{s_n^{(i)}} - 1)}$$
  où $P_n$ est un polynôme à coefficients entiers bornés, et $r_n^{(i)}, s_n^{(i)}$ sont liés aux longueurs des mots $U_n^{(i)}$ et $V_n^{(i)}$.

C. Application du Théorème du Sous-Espace (Schmidt)

C'est l'étape cruciale pour exclure la possibilité que $\alpha$ soit un nombre algébrique irrationnel.

1. Construction de vecteurs : On définit une suite de vecteurs $x_n \in \mathbb{Q}^{2r+1}$ dont les composantes sont liées aux termes du dénominateur commun de $\alpha_n$ et au numérateur $P_n$.
2. Formes linéaires : On introduit des formes linéaires $L_{v,i}$ sur ces vecteurs. Pour les places infinies, l'une des formes est construite spécifiquement pour mesurer l'erreur d'approximation : $L_{\infty, 2r+1}(x_n) \approx \alpha - \alpha_n$.
3. Estimation de l'erreur : La propriété de stammering garantit que l'erreur $|\alpha - \alpha_n|$ décroît très rapidement (exponentiellement par rapport aux longueurs des périodes), plus vite que ce que permettrait une approximation d'un nombre algébrique irrationnel (selon le théorème de Roth et ses généralisations).
4. Inégalité du produit : En utilisant le théorème des sous-espaces de Schmidt (affiné par Schlickewei), on montre que si $\alpha$ était algébrique irrationnel, les vecteurs $x_n$ devraient satisfaire une inégalité de type :
   $$\prod_{v \in S} \prod_{i} \frac{|L_{v,i}(x_n)|_v}{|x_n|_v} \le H(x_n)^{-m-\varepsilon}$$
   où $H(x_n)$ est la hauteur de Weil.
5. Contradiction : Les estimations montrent que cette inégalité est satisfaite pour une infinité de $n$. Le théorème implique alors que tous les $x_n$ (pour $n$ assez grand) appartiennent à un nombre fini de sous-espaces linéaires propres de $\mathbb{Q}^{2r+1}$.
6. Analyse algébrique : En passant à une sous-suite où les vecteurs sont dans un même sous-espace, on obtient une relation linéaire entre les termes.
   • Si le coefficient de $\alpha$ dans cette relation est non nul, on en déduit que $\alpha$ est rationnel.
   • Si ce coefficient est nul, on aboutit à une relation linéaire entre les logarithmes des bases $a_i$ avec des coefficients entiers non tous nuls. Cela contredit l'hypothèse d'indépendance multiplicative des $a_i$ (indépendance linéaire des $\log a_i$ sur $\mathbb{Q}$).

3. Résultats Principaux

Le résultat central est énoncé dans le Théorème A :

Soient $r \ge 2$, $a_1, \dots, a_r \ge 2$ des entiers multiplicativement indépendants. Soient $(p_n^{(i)})_{n \ge 0}$ des suites automatiques bornées et $f: \mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}$ une fonction. Alors le nombre réel défini par
$$\alpha = \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{f(p_{n_1}^{(1)}, \dots, p_{n_r}^{(r)})}{a_1^{n_1} \cdots a_r^{n_r}}$$
est soit rationnel, soit transcendant.

De plus, le cas rationnel se produit si et seulement si la suite générée est éventuellement périodique (généralisation du critère unidimensionnel).

4. Contributions Clés

1. Généralisation Multidimensionnelle : C'est la première extension rigoureuse du théorème d'Adamczewski-Bugeaud au cas de plusieurs variables et de plusieurs bases.
2. Intégration des Tableaux Automatiques : L'article formalise la notion de tableaux automatiques multidimensionnels (via des DFAO - Deterministic Finite Automata with Output sur un alphabet produit) et prouve que les combinaisons linéaires ou non de suites automatiques conservent la propriété d'automatisme (Théorème 2.12).
3. Méthodologie Robuste : La démonstration réussit à adapter la méthode de "stammering" (initialement conçue pour une dimension) à un cadre multidimensionnel complexe, en gérant soigneusement les interactions entre les différentes bases $a_i$ via le théorème des sous-espaces.

5. Signification et Perspectives

• Impact Théorique : Ce travail renforce le lien profond entre la complexité algorithmique (calculabilité en temps réel, suites automatiques) et la nature arithmétique des nombres. Il confirme que les nombres "simples" à générer (par automate) ne peuvent pas être des irrationnels algébriques, même dans des dimensions supérieures.
• Ouvertures : Les auteurs posent la question de savoir si ce résultat tient pour des tableaux automatiques plus généraux (non nécessairement produits de suites unidimensionnelles), ce qui ouvrirait la voie à l'étude de structures combinatoires multidimensionnelles plus complexes.
• Outils : La méthode développée, combinant la théorie des automates et le théorème de Schmidt, fournit un cadre puissant pour attaquer d'autres problèmes de transcendance en dimensions supérieures, potentiellement applicables à d'autres classes de suites ou de séries.

En résumé, cet article constitue une avancée majeure en théorie des nombres transcendants, étendant un résultat fondamental d'une dimension à $r$ dimensions et consolidant la connexion entre l'informatique théorique et l'arithmétique.