🔢 mathematics

Multivariable automatic arrays and transcendence

Dit artikel bewijst met behulp van de Subspace-stelling van Schmidt dat reële getallen gedefinieerd door multidimensionale automatische rijen met multiplicatief onafhankelijke bases ofwel rationaal ofwel transcendent zijn, waarmee een resultaat van Adamczewski en Bugeaud wordt uitgebreid naar de multidimensionale setting.

Oorspronkelijke auteurs: Aadrita Paul, Anwesh Ray

Gepubliceerd 2026-04-15

📖 4 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Aadrita Paul, Anwesh Ray

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een enorm, oneindig groot tapijt aan het weven bent. Dit tapijt is niet gemaakt van wol, maar van cijfers. De manier waarop je de draden (de cijfers) in elkaar zet, volgt een heel strikt, automatisch patroon. Het is alsof je een robot hebt die precies weet welke kleur hij op welk punt moet zetten, gebaseerd op een simpele set regels.

Dit is wat wiskundigen automatische rijen noemen. Het zijn getallenreeksen die zo'n strak patroon volgen dat je ze kunt beschrijven met een simpele computermachine (een "automaton").

Het probleem waar deze auteurs over nadenken:
Aadrta Paul en Anwesh Ray kijken naar een heel specifiek soort getal dat je krijgt als je al die cijfers van zo'n automatisch tapijt optelt, maar dan op een heel slimme manier. Ze nemen elk cijfer, delen het door een steeds groter wordend getal (zoals $2^n$ , $3^n$ , etc.) en tellen alles bij elkaar op.

Stel je voor dat je een oneindige som maakt:
$\text{Getal} = \frac{\text{cijfer}_1}{10} + \frac{\text{cijfer}_2}{100} + \frac{\text{cijfer}_3}{1000} + \dots$

De vraag die ze stellen is: Wat voor soort getal is dit eindresultaat?
In de wiskunde zijn er twee grote groepen getallen die we hier interessant vinden:

Rationale getallen: Dit zijn "nette" getallen die je kunt schrijven als een breuk (zoals $1/2$ , $3/4$ , of $0,3333...$). Ze hebben een patroon dat zich herhaalt.
Transcendente getallen: Dit zijn de "wildste" getallen. Ze zijn niet alleen niet te schrijven als een breuk, maar ze zijn ook niet de oplossing van een simpele vergelijking met gehele getallen (zoals $\pi$ of $e$ ). Ze zijn volledig chaotisch en onvoorspelbaar.

De grote ontdekking:
De auteurs bewijzen iets heel verrassends: Als je dit getal maakt met een automatisch patroon, dan is er geen middenweg.

Het resultaat is ofwel een heel "nette" breuk (rationaal), ofwel een volledig chaotisch, transcendent getal. Er is geen getal dat "halverwege" zit, zoals een wortel uit 2 (dat is algebraïsch, maar niet rationeel). Het is ofwel heel ordelijk, ofwel heel wild.

Hoe hebben ze dit bewezen? (De analogie)
Stel je voor dat je een spion bent die probeert te ontdekken of een geheim getal een "vermomming" is.

Ze kijken naar het patroon van de cijfers. Omdat het patroon automatisch is, bevat het steeds weer dezelfde blokken die zich herhalen (zoals een stamper die steeds weer hetzelfde stempelafdruk).
Ze bouwen een "valstrik" met behulp van een krachtige wiskundige wet (het Subspace Theorem). Deze wet zegt eigenlijk: "Als een getal te goed benaderd kan worden door breuken, en dat getal is ook nog eens een beetje 'algebraïsch' (een tussenstap tussen rationaal en transcendent), dan moet het getal eigenlijk rationaal zijn."
Ze laten zien dat de "stamper" in het patroon van de cijfers zorgt dat het getal heel nauwkeurig benaderd kan worden door breuken.
Als het getal dan toch niet rationaal zou zijn, zou het in strijd komen met de regels van de wiskunde. Dus, als het niet rationaal is, moet het per definitie transcendent zijn.

Waarom is dit belangrijk?
Vroeger wisten we dit al voor getallen die in één dimensie werden gemaakt (zoals een lange rij cijfers achter de komma). Dit artikel is een grote stap vooruit omdat ze dit bewijzen voor meerdere dimensies tegelijk.

Stel je voor dat je niet alleen een lange rij cijfers hebt, maar een heel raster (zoals een Excel-tabel) dat oneindig groot is, en je telt alle getallen in dat raster op. De auteurs zeggen: "Zelfs in deze complexe, multidimensionale wereld geldt dezelfde regel: of het getal is heel simpel, of het is heel complex. Er is geen grijs gebied."

Kort samengevat:
Paul en Ray hebben ontdekt dat getallen die worden gegenereerd door simpele, automatische regels in een meervoudige dimensie, nooit "moeilijk maar niet helemaal wild" kunnen zijn. Ze zijn ofwel een simpele breuk, ofwel een van de meest mysterieuze getallen die er bestaan. Het is alsof je zegt: "Als je een robot een patroon laat maken, kan het resultaat nooit een halve mens zijn; het is ofwel een perfect machine, ofwel een volledig mens met een eigen wil."

Titel: Multivariabele Automatische Arrays en Transcendentie

Auteurs: Aadrita Paul en Anwesh Ray

1. Probleemstelling en Context

Het artikel onderzoekt de arithmetische aard (rationeel of transcendent) van reële getallen die worden gedefinieerd door meervoudige reeksen, waarbij de coëfficiënten worden gegenereerd door meervoudige automatische arrays (multidimensionale automatische sequenties).

Achtergrond: Er bestaat een sterke link tussen de theorie van automaten en Diophantische benadering. Een klassiek resultaat van Adamczewski en Bugeaud (2007) stelt dat een reëel getal $\alpha = \sum_{n \ge 0} a_n b^{-n}$ , waarbij $(a_n)$ een begrensde automatische rij van gehele getallen is, ofwel rationeel ofwel transcendent is. Het is transcendent tenzij de rij uiteindelijk periodiek is (wat overeenkomt met een rationaal getal).
De uitdaging: De auteurs willen dit resultaat generaliseren naar een meervoudige dimensie. Ze beschouwen een reeks van de vorm:
$\alpha = \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{f(p_{n_1}^{(1)}, \dots, p_{n_r}^{(r)})}{a_1^{n_1} \cdots a_r^{n_r}}$
waarbij:
- $r \ge 2$ is het aantal dimensies.
- $a_1, \dots, a_r \ge 2$ gehele getallen zijn die multiplicatief onafhankelijk zijn (d.w.z. $\log a_1, \dots, \log a_r$ zijn lineair onafhankelijk over $\mathbb{Q}$ ).
- $(p_n^{(i)})$ begrensde $k_i$ -automatische rijen zijn voor $i=1, \dots, r$ .
- $f: \mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}$ een functie is die de array $c_{n_1, \dots, n_r}$ definieert.

De centrale vraag is of deze multidimensionale constructie dezelfde "stijfheid" vertoont: is $\alpha$ altijd ofwel rationeel ofwel transcendent?

2. Methodologie

De bewijsvoering combineert combinatorische eigenschappen van automatische rijen met krachtige methoden uit de Diophantische benadering.

A. Combinatorische Eigenschappen: "Stammering" (Stotteren)

Een cruciaal kenmerk van automatische rijen is dat ze voldoen aan een zogenaamde stammering-conditie (of "stotterende" conditie).

Definitie: Een rij voldoet aan conditie $(\ast)_w$ (voor $w > 1$ ) als er eindige woorden $U_n$ en $V_n$ bestaan zodanig dat $U_n V_n^w$ een prefix is van de oneindige rij, waarbij de verhouding $|U_n|/|V_n|$ begrensd is en $|V_n|$ strikt stijgt.
Propositie: Elke $k$ -automatische rij is een "stammering sequence". Dit betekent dat er in de rij arbitrarily lange blokken zijn met grote herhalingen die een gecontroleerde overlap hebben.
Toepassing: De auteurs gebruiken deze eigenschap om voor elke rij $(p_n^{(i)})$ een benaderende, eindig periodieke rij $(p_k^{(i)})$ te construeren. Door deze periodieke rijen te gebruiken, kunnen ze een reeks van rationale getallen $\alpha_n$ definiëren die $\alpha$ zeer nauwkeurig benaderen.

B. Diophantische Benadering: Schlickewei's verfijning van de Subspace Theorem

Om te bewijzen dat $\alpha$ niet algebraïsch irrationaal kan zijn, gebruiken de auteurs de Subspace Theorem van Schmidt (verfijnd door Schlickewei).

Constructie van rationale benaderingen: Voor elke $n$ wordt een rationaal getal $\alpha_n$ geconstrueerd door de automatische rijen te vervangen door hun periodieke voortzettingen. $\alpha_n$ kan worden uitgedrukt als een breuk met een noemer die een product is van termen van de vorm $a_i^{r_n(i)}(a_i^{s_n(i)} - 1)$ .
Lineaire vormen: De auteurs definiëren een vector $x_n \in \mathbb{Q}^{2r+1}$ die afhangt van de parameters van de benadering. Ze construeren lineaire vormen $L_{v,i}$ over een algebraïsch getallenlichaam (in dit geval $\mathbb{Q}$ ) voor een verzameling plaatsen $S$ (inclusief de oneindige plaats en de priemfactoren van $a_i$ ).
Schattingen:
- Ze schatten de waarde van de lineaire vorm die $\alpha - \alpha_n$ bevat. Vanwege de "stammering"-eigenschap is deze foutterm extreem klein: $O(a^{-(w-1)s_n})$ .
- Ze schatten de hoogte $H(x_n)$ van de vector.
Toepassing van de Theorema: Ze tonen aan dat het product van de absolute waarden van de lineaire vormen kleiner is dan $H(x_n)^{-(2r+1+\varepsilon)}$ . Volgens de Subspace Theorem moeten er dan oneindig veel vectoren $x_n$ liggen in een eindig aantal echte lineaire deelruimten.

3. Belangrijkste Resultaten

Hoofdstelling (Theorem A)

Laat $r \ge 2$ , $a_1, \dots, a_r \ge 2$ multiplicatief onafhankelijke gehele getallen zijn, en laat $(p_n^{(i)})$ begrensde $k_i$ -automatische rijen zijn. Voor elke functie $f: \mathbb{Z}^r \to \mathbb{Z}$ is het reële getal
$\alpha = \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{f(p_{n_1}^{(1)}, \dots, p_{n_r}^{(r)})}{a_1^{n_1} \cdots a_r^{n_r}}$
ofwel rationeel ofwel transcendent.

Technische Nuances in het Bewijs

Het geval $u_{2r+1} \neq 0$ : Als de coëfficiënt van de laatste component in de lineaire relatie niet nul is, volgt direct dat $\alpha$ rationaal is (door de limiet te nemen).
Het geval $u_{2r+1} = 0$ : Als deze coëfficiënt nul is, leidt dit tot een lineaire relatie tussen termen van de vorm $\prod a_i^{s_n(i)}$ . Door de multiplicatieve onafhankelijkheid van de $a_i$ en het gebruik van de S-eenheden stelling (S-unit theorem), leidt dit tot een contradictie, tenzij de relatie triviaal is. Dit bewijst dat $\alpha$ niet algebraïsch irrationaal kan zijn.

4. Bijdragen en Betekenis

Generalisatie van Adamczewski-Bugeaud: Het artikel breidt een fundamenteel resultaat uit de transcendentietheorie uit van één dimensie naar meerdere dimensies. Dit is een aanzienlijke stap voorwaarts, omdat de interactie tussen meerdere automatische rijen en multiplicatief onafhankelijke bases complexe combinatorische en arithmetische obstakels introduceert.
Synthese van Gebieden: Het werk demonstreert opnieuw de kracht van het combineren van automata-theorie (combinatorische complexiteit, stammering-condities) met Diophantische meetkunde (Subspace Theorem, S-eenheden).
Rigiditeit van Automatische Structuren: Het resultaat bevestigt dat de "stijfheid" van automatische rijen (het gebrek aan "willekeurige" complexiteit) in hoge dimensies nog steeds voldoende is om de transcendentie van de gegenereerde getallen te garanderen, tenzij de structuur zo simpel is dat het een rationaal getal oplevert.
Toekomstperspectief: De auteurs motiveren verdere onderzoeksvragen over de arithmetische aard van series gegenereerd door algemene $[k_1, \dots, k_r]$ -automatische arrays (niet noodzakelijk gedefinieerd als een product van onafhankelijke rijen), wat suggereert dat de methoden hier ontwikkeld een basis vormen voor bredere klassen van getallen.

Conclusie

Paul en Ray bewijzen dat reële getallen gedefinieerd door multidimensionale automatische arrays met multiplicatief onafhankelijke bases een dichotomie vertonen: ze zijn ofwel rationeel ofwel transcendent. Dit resultaat sluit een belangrijke lacune in de literatuur over de transcendentie van getallen met lage combinatorische complexiteit in hogere dimensies en consolideert de rol van de Subspace Theorem als een essentieel instrument in dit domein.