Consecutive non-square nom-primitive pairs in as finite field

Titolo

Coppie consecutive di elementi non-quadrati e non-primitivi in un campo finito

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nello studio delle proprietà additive e moltiplicative degli elementi nei campi finiti $\mathbb{F}_q$, dove $q$ è una potenza di un numero primo dispari.

• Definizioni Chiave:
  • Un elemento è primitivo se è un generatore del gruppo moltiplicativo $\mathbb{F}_q^*$.
  • Un elemento è un non-quadrato se non è un quadrato in $\mathbb{F}_q$.
  • Un elemento è definito NSNP (Non-Square Non-Primitive) se è contemporaneamente un non-quadrato e non-primitivo.
  • Una coppia NSNP è una coppia di elementi consecutivi $(\alpha, \alpha+1)$ entrambi NSNP.
• Obiettivo: Determinare le condizioni sotto le quali $\mathbb{F}_q$ contiene necessariamente almeno una coppia NSNP consecutiva.
• Vincoli: Se $\theta_q = \phi(q-1)/(q-1) = 1/2$ (caso dei numeri primi di Fermat o $q=9$), ogni non-quadrato è primitivo, rendendo impossibile l'esistenza di coppie NSNP. Pertanto, è necessaria una restrizione su $\theta_q$.

2. Metodologia

L'autore impiega una combinazione di metodi analitici, teoria dei caratteri e calcoli computazionali espliciti.

A. Stime Analitiche e Somma di Caratteri

Per ottenere un limite inferiore per il numero di coppie NSNP ($N_\ell(q)$), l'autore utilizza la teoria dei caratteri moltiplicativi:

1. Funzione Caratteristica: Viene definita una funzione $f_\ell(\alpha)$ che vale 1 se $\alpha$ è un non-quadrato e un $\ell$-esimo potenza (dove $\ell$ è un divisore primo dispari di $q-1$), e 0 altrimenti.
2. Somma su Coppie Consecutive: Il numero di coppie desiderate è espresso come una somma su $\alpha \in \mathbb{F}_q \setminus \{0, -1\}$ del prodotto $f_\ell(\alpha)f_\ell(\alpha+1)$.
3. Sviluppo in Caratteri: Espandendo il prodotto, la somma viene espressa in termini di Somme di Jacobi $J(\chi_1, \chi_2)$.
4. Stima dei Termini:
   • I termini principali (dove i caratteri sono banali) forniscono il termine dominante proporzionale a $q$.
   • I termini di errore (dove i caratteri non sono banali) sono limitati in modulo da $\sqrt{q}$ (teorema di Weil per somme di Jacobi).
5. Risultato Teorico: Si ottiene una disuguaglianza del tipo $N_\ell(q) \geq \frac{q - C\sqrt{q}}{4\ell^2}$. Se $q$ è sufficientemente grande rispetto a $\ell$, il numero di coppie è positivo.

B. Analisi dei Casi Piccoli e Numeri Ciclotomici

Per i valori piccoli di $q$ (dove le stime asintotiche non garantiscono la positività), l'autore ricorre a metodi esatti:

• Numeri Ciclotomici: Per $\ell=3$ e $\ell=5$, il problema viene riformulato in termini di numeri ciclotomici di ordine $2\ell$.
• Tabelle Storiche: Vengono utilizzate tabelle classiche (Gauss, Jacobi, Dickson, Whiteman) che forniscono formule esplicite per i numeri ciclotomici in funzione dei parametri $A$ e $B$ nella rappresentazione $q = A^2 + 3B^2$ (per $\ell=3$).
• Verifica Computazionale: Per i casi residui non coperti dalle formule teoriche o per confermare i risultati, l'autore utilizza il software Pari/GP per calcolare esplicitamente le coppie NSNP per tutte le potenze di primi pertinenti fino a una certa soglia.

3. Risultati Principali

Teorema 1.1 (Risultato Principale)

Sia $q$ una potenza di un primo dispari e $\theta_q = \frac{\phi(q-1)}{q-1}$.

• Se $\theta_q < 1/3$, allora $\mathbb{F}_q$ contiene una coppia di elementi consecutivi che sono entrambi non-quadrati e non-primitivi.
• Se $\theta_q = 1/3$, la stessa conclusione vale, con le uniche eccezioni per $q \in \{7, 13, 19, 25, 37\}$.
• Significato: Questo estende un risultato precedente di Jarso e Trudgian (che valeva per campi primi $\mathbb{F}_p$ con la condizione più forte $\theta_p \leq 1/4$) a tutti i campi finiti dispari, rilassando la soglia a $1/3$.

Teorema 1.2 (Generalizzazione)

Sia $\ell$ il più piccolo divisore primo dispari di $q-1$. Se $\theta_q \leq 1/3$, allora $\mathbb{F}_q$ contiene una coppia di elementi consecutivi che sono non-quadrati e $\ell$-esime potenze (coppia NS$\ell$), con le uniche eccezioni per $q \in \{7, 13, 19, 25, 37, 43\}$.

• Poiché ogni coppia NS$\ell$ è anche una coppia NSNP, questo teorema implica il Teorema 1.1.
• Il caso $\ell \geq 7$ è trattato dimostrando che, sotto l'ipotesi $\theta_q \leq 1/3$, $q$ deve essere sufficientemente grande da soddisfare le condizioni del limite inferiore analitico.
• I casi $\ell=3$ e $\ell=5$ richiedono un'analisi specifica delle eccezioni tramite calcoli esatti.

Analisi dei Casi Eccezionali

• Per $q=43$, sebbene non esista una coppia NS3 (non-quadrato e cubo), esiste una coppia NSNP: $(7, 8)$. L'autore dimostra che 7 è un non-quadrato e una 7-esima potenza, mentre 8 è un non-quadrato e un cubo. Quindi, 43 non è un'eccezione per il Teorema 1.1.
• Le eccezioni finali per il Teorema 1.1 sono esattamente $\{7, 13, 19, 25, 37\}$.

4. Contributi Chiave

1. Estensione a Campi Non-Primi: Generalizzazione dei risultati dai campi primi $\mathbb{F}_p$ ai campi finiti generici $\mathbb{F}_q$.
2. Miglioramento della Soglia: Riduzione della condizione necessaria da $\theta \leq 1/4$ a $\theta \leq 1/3$, avvicinandosi al limite teorico naturale (poiché la proporzione di elementi NSNP è $1/2 - \theta_q$).
3. Classificazione Completa delle Eccezioni: Identificazione precisa e dimostrazione che l'insieme delle eccezioni è finito e limitato a piccoli valori di $q$.
4. Integrazione di Metodi: Combinazione efficace di stime analitiche (sieve methods, somme di Jacobi) con calcoli esatti basati sulla teoria dei numeri ciclotomici e verifica computazionale.

5. Significato e Implicazioni

• Struttura Additiva-Moltiplicativa: Il lavoro contribuisce alla comprensione profonda di come le proprietà moltiplicative (essere primitivo, essere potenza) interagiscano con la struttura additiva (elementi consecutivi) nei campi finiti.
• Confronto con Coppie Primitive: Il problema delle coppie NSNP è considerato di difficoltà comparabile a quello delle coppie primitive consecutive, ma presenta sfide tecniche maggiori perché i metodi di setaccio (sieve) per gli upper-bound non sono disponibili per gli elementi non-primiti come lo sono per quelli primitivi.
• Domande Aperte: L'autore solleva questioni per ricerche future, tra cui:
  • L'esistenza di coppie non-primitive consecutive per $q$ pari (potenze di 2).
  • Se la condizione $\theta_q \leq 1/3$ sia necessaria o se possa essere rilassata per $\ell \geq 7$.
  • L'esistenza di triple consecutive di elementi NSNP.

In sintesi, il paper risolve in modo definitivo il problema dell'esistenza di coppie consecutive non-quadrati e non-primitivi per quasi tutti i campi finiti dispari, fornendo una soglia critica precisa ($\theta_q = 1/3$) e una lista completa delle eccezioni.