Consecutive non-square nom-primitive pairs in as finite field

Resumo Técnico: Pares Consecutivos Não-Quadrados e Não-Primitivos em Corpos Finitos

1. O Problema

O artigo investiga a existência de pares consecutivos de elementos em um corpo finito $\mathbb{F}_q$ (onde $q$ é uma potência de primo ímpar) que satisfaçam simultaneamente duas propriedades:

1. Não-quadrados (NS): Elementos que não são quadrados perfeitos em $\mathbb{F}_q$.
2. Não-primitivos (NP): Elementos que não são geradores do grupo multiplicativo $\mathbb{F}_q^*$.

Um elemento que é tanto não-quadrado quanto não-primitivo é denominado NSNP. O objetivo principal é determinar sob quais condições o corpo $\mathbb{F}_q$ contém pelo menos um par de elementos consecutivos $(\alpha, \alpha+1)$ onde ambos são NSNP.

A questão é motivada pelo problema complementar bem estudado de encontrar pares consecutivos de elementos primitivos. Enquanto a existência de pares primitivos é garantida para a maioria dos $q$, a existência de pares não-primitivos é trivial para elementos não-quadrados (pois metade dos elementos não são primitivos), mas a interseção com a propriedade de "não-quadrado" torna o problema não trivial.

O parâmetro chave utilizado é:
$$\theta_q := \frac{\phi(q-1)}{q-1}$$
onde $\phi$ é a função totiente de Euler. Este valor representa a proporção de elementos primitivos em $\mathbb{F}_q^*$.

2. Metodologia

O autor emprega uma combinação de métodos analíticos e computacionais:

• Método de Soma de Caracteres e Somas de Jacobi:
  Para obter limites inferiores para o número de pares $N_\ell(q)$ (onde $\ell$ é um primo ímpar dividindo $q-1$), o autor define uma função característica para elementos que são simultaneamente não-quadrados e $\ell$-ésimas potências. A contagem é expressa através de somas de Jacobi $J(\chi_1, \chi_2)$.

  • Utiliza-se a estimativa padrão $|J(\chi_1, \chi_2)| = \sqrt{q}$ quando os caracteres não são triviais.
  • Deriva-se uma desigualdade inferior para $N_\ell(q)$ que depende de $q$, $\ell$ e $\lambda(-1)$.
  • Isso permite provar a existência de pares para $q$ suficientemente grandes em relação a $\ell$.

• Números Ciclotômicos:
  Para os casos onde os limites analíticos não são suficientes (especificamente quando $\ell = 3$ ou $\ell = 5$ e $q$ é pequeno), o autor recorre a tabelas de números ciclotômicos de ordem $2\ell$.

  • Relaciona-se o número de pares NS$_\ell$ ao número ciclotômico $(\ell, \ell)_{2\ell}$.
  • Utilizam-se fórmulas explícitas (baseadas em trabalhos de Gauss, Jacobi, Dickson e Whiteman) para calcular valores exatos de $N_3(q)$ e $N_5(q)$ para corpos pequenos.

• Análise de Casos Específicos:

  • Caso $\ell \geq 7$: Demonstra-se que se o menor primo ímpar dividindo $q-1$ for $\geq 7$, a condição $\theta_q \leq 1/3$ implica que $q$ é grande o suficiente para que o limite inferior analítico seja positivo.
  • Caso $\ell = 3$: Realiza-se uma verificação exaustiva computacional (via Pari/GP) e analítica para todos os $q$ menores que o limite teórico, identificando exceções.
  • Caso $\ell = 5$: Similarmente, verifica-se os poucos casos onde a condição analítica não se aplica.

3. Principais Resultados e Teoremas

Teorema 1.1 (Resultado Principal):
Seja $q$ uma potência de primo ímpar.

• Se $\theta_q < 1/3$, então $\mathbb{F}_q$ contém um par de elementos consecutivos que são ambos não-quadrados e não-primitivos.
• Se $\theta_q = 1/3$, a conclusão ainda é válida, exceto para os seguintes valores de $q$:
  $$q \in \{7, 13, 19, 25, 37\}$$
  (Nota: O valor $q=43$ é uma exceção para o caso mais geral de $\ell$, mas não para o caso NSNP, conforme demonstrado no final do artigo).

Teorema 1.2 (Generalização para $\ell$-ésimas potências):
Seja $\ell$ o menor primo ímpar dividindo $q-1$. Se $\theta_q \leq 1/3$, então $\mathbb{F}_q$ contém um par de elementos consecutivos que são não-quadrados e $\ell$-ésimas potências, exceto quando $\ell=3$ e $q \in \{7, 13, 19, 25, 37, 43\}$.

Limites e Exceções:

• O valor crítico $\theta_q = 1/3$ representa uma fronteira. Quando $\theta_q = 1/2$ (ocorre quando $q$ é primo de Fermat ou $q=9$), todos os não-quadrados são primitivos, tornando a existência de pares NSNP impossível.
• O artigo melhora resultados anteriores:
  • Gun et al. [8] provaram para $\theta_p < 1/6$.
  • Jarso e Trudgian [9] melhoraram para $\theta_p \leq 1/4$ (para corpos primos).
  • Cohen estende para $\theta_q \leq 1/3$ para corpos gerais, com exceções finitas bem definidas.

Tabela de Exceções:
Para $q$ onde $\theta_q = 1/3$, os pares NSNP não existem apenas em:

• $q = 7, 13, 19, 25, 37$ (para o problema NSNP).
• $q = 43$ é uma exceção para pares NS$_3$ (não-quadrados e cubos), mas não é uma exceção para pares NSNP, pois o par $(7, 8)$ em $\mathbb{F}_{43}$ é um par NSNP (7 é não-quadrado e 7ª potência; 8 é não-quadrado e cubo).

4. Significância e Contribuições

1. Melhoria de Limites: O trabalho relaxa significativamente a condição necessária para a existência de tais pares, movendo o limite de $\theta \leq 1/4$ para $\theta \leq 1/3$. Isso amplia drasticamente o conjunto de corpos finitos para os quais a existência é garantida.
2. Precisão nas Exceções: Ao contrário de resultados assintóticos que garantem existência apenas para $q$ muito grande, este artigo fornece uma lista completa e finita de exceções para a condição $\theta_q \leq 1/3$, resolvendo o problema para todos os $q$ (exceto os listados).
3. Técnicas Híbridas: A combinação de limites superiores de somas de caracteres (para $q$ grandes) com a verificação exata via números ciclotômicos (para $q$ pequenos) serve como um modelo robusto para problemas de existência em teoria dos números finitos.
4. Questões Abertas: O autor levanta questões interessantes para pesquisa futura, incluindo:
   • A existência de pares consecutivos não-primitivos em corpos de característica 2 ($q$ par).
   • Se a condição $\theta_q \leq 1/3$ é estritamente necessária ou se pode ser relaxada para $\ell \geq 7$.
   • A existência de três elementos consecutivos NSNP.

5. Conclusão

Stephen D. Cohen estabelece que, para quase todos os corpos finitos de ordem ímpar onde a densidade de elementos primitivos é baixa o suficiente ($\theta_q \leq 1/3$), é garantida a existência de pares consecutivos de elementos que são simultaneamente não-quadrados e não-primitivos. As únicas exceções ocorrem em corpos muito pequenos específicos, cujos valores foram identificados e verificados computacionalmente. Este resultado representa um avanço significativo na compreensão da distribuição de elementos com propriedades multiplicativas específicas em corpos finitos.