Consecutive non-square nom-primitive pairs in as finite field

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'existence de paires d'éléments consécutifs dans un corps fini $\mathbb{F}_q$ (où $q$ est une puissance d'un nombre premier impair) qui satisfont simultanément deux propriétés :

1. Être un non-carré (non-square).
2. Être un élément non-primitif (non-primitive).

On appelle un tel élément NSNP (Non-Square Non-Primitive) et une paire consécutive de tels éléments une paire NSNP.

Contexte théorique :

• Il est bien établi que pour $q$ suffisamment grand, il existe des paires d'éléments consécutifs primitifs.
• La question complémentaire est de savoir s'il existe toujours des paires d'éléments consécutifs non-primitifs. Pour $q$ impair, la moitié des éléments non nuls sont des carrés (donc non-primitifs). La question profonde est donc de trouver des paires de non-carrés qui sont aussi non-primitifs.
• La difficulté réside dans le fait que les méthodes de tamisage (sieves) usuelles, efficaces pour les éléments primitifs (structure multiplicative simple), sont moins adaptées pour les non-primitifs, car on cherche à éviter la primitivité plutôt qu'à l'assurer.

Paramètre clé :
L'auteur définit $\theta_q = \frac{\phi(q-1)}{q-1}$, qui représente la proportion d'éléments primitifs dans $\mathbb{F}_q^\times$.

• Si $\theta_q = 1/2$ (cas des nombres de Fermat ou $q=9$), tout non-carré est primitif, donc aucune paire NSNP n'existe.
• L'objectif est de trouver une borne supérieure sur $\theta_q$ garantissant l'existence de telles paires.

2. Méthodologie

L'article utilise une approche combinant l'analyse de caractères, les sommes de Jacobi et les nombres cyclotomiques.

A. Approche par les sommes de Jacobi (Bornes inférieures)

Pour un nombre premier impair $\ell$ divisant $q-1$, l'auteur étudie d'abord un problème plus général : l'existence de paires d'éléments consécutifs qui sont à la fois des non-carrés et des $\ell$-ièmes puissances (notées paires NS$\ell$).

• Une fonction caractéristique $f_\ell(\alpha)$ est définie pour détecter les éléments non-carrés et $\ell$-ièmes puissances.
• Le nombre de paires $N_\ell(q)$ est exprimé comme une somme sur $\mathbb{F}_q$ impliquant des produits de caractères multiplicatifs.
• En développant cette somme, l'auteur obtient une expression faisant intervenir des sommes de Jacobi $J(\chi_1, \chi_2)$.
• En utilisant les propriétés standards des sommes de Jacobi (valeur absolue $\sqrt{q}$ si les caractères ne sont pas triviaux), l'auteur dérive une borne inférieure pour $N_\ell(q)$.

Théorème 2.1 (Borne inférieure) :
$$N_\ell(q) \ge \frac{q - 4(\ell-1)^2\sqrt{q} - (\ell-2)(1+\lambda(-1)) - 3}{4\ell^2}$$
Cette borne permet de prouver l'existence de paires NS$\ell$ lorsque $q$ est suffisamment grand par rapport à $\ell$ (notamment si $q > 16\ell^4$).

B. Analyse des cas petits ($\ell = 3$ et $\ell = 5$)

La borne ci-dessus ne suffit pas pour les petits $q$ lorsque le plus petit diviseur premier impair de $q-1$ est 3 ou 5.

• Cas $\ell \ge 7$ : L'auteur démontre que si $\theta_q \le 1/3$ et que le plus petit diviseur premier impair est $\ge 7$, alors $q$ est nécessairement très grand ($q > 16\ell^4$), ce qui garantit l'existence de la paire via la borne inférieure.
• Cas $\ell = 3$ : La condition $\theta_q \le 1/3$ est automatiquement satisfaite. L'auteur examine manuellement les petits $q$ (jusqu'à 241) en utilisant des nombres cyclotomiques d'ordre 6 (basés sur les travaux de Gauss, Jacobi, Whiteman) et des calculs informatiques (Pari/GP) pour déterminer exactement $N_3(q)$.
• Cas $\ell = 5$ : Une analyse similaire est menée pour les petits $q$ où $\ell=5$ est le plus petit diviseur impair, confirmant l'existence de paires pour les valeurs restantes.

C. Cas exceptionnel $q=43$

Pour $q=43$, bien qu'il n'y ait pas de paire NS3, l'auteur démontre l'existence d'une paire NSNP spécifique $(7, 8)$ en vérifiant directement les propriétés de 7 et 8 (7 est un non-carré et une 7-ième puissance, 8 est un non-carré et un cube).

3. Résultats Principaux

Théorème 1.1 (Résultat principal)

Soit $q$ une puissance d'un nombre premier impair et $\theta_q = \frac{\phi(q-1)}{q-1}$.

1. Si $\theta_q < 1/3$, alors $\mathbb{F}_q$ contient une paire d'éléments consécutifs non-carrés et non-primitifs.
2. Si $\theta_q = 1/3$, la conclusion reste vraie, sauf pour les valeurs exceptionnelles :
   $$q \in \{7, 13, 19, 25, 37\}$$
   (Note : Pour $q=43$, bien que $\theta_{43}=1/3$, une paire NSNP existe, donc il n'est pas exceptionnel pour le théorème 1.1, mais il l'est pour le théorème plus général 1.2 sur les paires NS3).

Théorème 1.2 (Résultat généralisé)

Soit $\ell$ le plus petit diviseur premier impair de $q-1$. Si $\theta_q \le 1/3$, alors $\mathbb{F}_q$ contient une paire NS$\ell$ (non-carré et $\ell$-ième puissance), sauf si $\ell=3$ et $q \in \{7, 13, 19, 25, 37, 43\}$.

Interprétation des bornes :

• $\theta_q < 1/6$ (résultat antérieur de Gun et al.) : Les éléments NSNP sont au moins deux fois plus nombreux que les primitifs.
• $\theta_q \le 1/4$ (résultat de Jarso et Trudgian) : Les éléments NSNP sont au moins aussi nombreux que les primitifs.
• $\theta_q \le 1/3$ (résultat actuel) : Les éléments NSNP sont au moins la moitié des primitifs.

4. Contributions Clés

1. Amélioration de la borne conditionnelle : L'article améliore la condition connue pour l'existence de paires NSNP de $\theta_p \le 1/4$ (pour les corps premiers) à $\theta_q \le 1/3$ pour les corps finis généraux.
2. Classification complète des exceptions : L'auteur identifie précisément l'ensemble fini des corps finis pour lesquels de telles paires n'existent pas, reliant ces exceptions à la valeur critique $\theta_q = 1/3$.
3. Méthodologie hybride : L'article combine efficacement des estimations analytiques (sommes de Jacobi) pour les grands $q$ et des calculs exacts via les nombres cyclotomiques pour les petits $q$, comblant ainsi le fossé entre les deux régimes.
4. Généralisation aux $\ell$-ièmes puissances : La preuve passe par l'étude des paires NS$\ell$, offrant un cadre plus large pour comprendre la distribution des éléments non-carrés et non-primitifs.

5. Signification et Perspectives

• Signification : Ce travail résout une question ouverte sur la distribution des éléments non-primitifs dans les corps finis. Il montre que tant que la proportion d'éléments primitifs n'est pas trop élevée (inférieure à 1/3), la structure du corps force l'existence de paires consécutives d'éléments "non-générateurs" qui ne sont pas non plus des carrés.
• Limites et Questions ouvertes :
  • L'auteur suggère que la condition $\theta_q \le 1/3$ pourrait être trop restrictive pour les grands $\ell$ (plus grand que 7) et propose d'explorer des bornes dépendant de $\ell$ (ex: $\theta_q < \frac{\ell-1}{2\ell}$).
  • La question de l'existence de paires NSNP pour les corps de caractéristique 2 ($q$ puissance de 2) reste ouverte.
  • L'existence de triples consécutifs d'éléments NSNP est mentionnée comme un sujet de recherche futur.

En résumé, cet article établit une borne optimale (à quelques exceptions près) pour l'existence de paires consécutives non-carrées et non-primitives, unissant théorie analytique des nombres et calculs algorithmiques précis.