On divisor sums due to Erd\H{o}s and Ramanujan

1. Enunciato del Problema

L'articolo indaga il comportamento asintotico di una specifica somma ibrida di divisori che combina elementi di due problemi classici nella teoria analitica dei numeri:

• La Somma di Divisori di Ramanujan: Riguarda la somma dei reciproci della funzione divisore, $\sum_{n \le x} \frac{1}{d(n)}$. Ramanujan (1915) stabilì che questa somma si comporta asintoticamente come $\frac{x}{\sqrt{\log x}}$.
• La Somma di Divisori di Erdős: Riguarda la somma della funzione divisore iterata, $\sum_{n \le x} d(d(n))$. Erdős (anni '50) dimostrò che questa si comporta come $c_1 x \log \log x$.
• Il Problema dei Divisori di Titchmarsh: Riguarda le somme sui numeri primi, specificamente $\sum_{p \le x} d(p-1)$. Lavori recenti di Gabdullin et al. (anni '20) hanno analizzato la versione reciproca $\sum_{p \le x} \frac{1}{d(p-1)}$, dimostrando che è dell'ordine $\frac{x}{(\log x)^{3/2}}$.

Il Problema Centrale:
L'autore studia la somma "ibrida" ottenuta prendendo il reciproco della funzione iterata di Erdős:
$$S(x) = \sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))}$$
La presenza del reciproco complica significativamente l'analisi perché amplifica il contributo degli interi $n$ per i quali $d(d(n))$ è eccezionalmente piccolo. L'articolo mira a determinare l'ordine di grandezza di $S(x)$.

2. Metodologia

La dimostrazione si basa sulla decomposizione dell'insieme degli interi $\{n \le x\}$ in insiemi "tipici" ed "eccezionali", sulla limitazione del contributo degli insiemi eccezionali e sulla stima del termine principale utilizzando strumenti della teoria probabilistica dei numeri.

Strumenti e Definizioni Chiave:

• Decomposizione di $n$: Gli interi sono suddivisi in una parte priva di quadrati $a(n)$ e una parte potente $b(n)$ (dove $n = a(n)b(n)$). La funzione divisore è espressa come $d(n) = 2^{\omega(a(n))} d(b(n))$, dove $\omega(n)$ è il numero di fattori primi distinti.
• Stima di Golomb: Utilizzata per limitare la densità dei numeri potenti. Il numero di numeri potenti $\le x$ è $O(x^{1/2})$.
• Teorema Quantitativo di Hardy–Ramanujan di Turán: Sfrutta la disuguaglianza di Turán–Kubilius per dimostrare che $\omega(n)$ è distribuita normalmente attorno a $\log \log n$. Nello specifico, la varianza è piccola: $\sum_{n \le N} (\omega(n) - \log \log N)^2 \ll N \log \log N$.
• Somma di Abel: Applicata per sommare sui numeri potenti al fine di derivare limiti.

Strategia di Dimostrazione (Decomposizione dei Lemma):
L'autore partiziona l'intervallo di somma $n \le x$ in tre insiemi disgiunti per limitare la somma dall'alto e dal basso:

1. Insieme $B_1(x)$ (Parte Potente Grande): Interi in cui la parte potente $b(n) > (\log \log x)^2$.

   • Metodo: Utilizzando la stima di Golomb e la somma di Abel, l'autore dimostra che il conteggio di tali interi è piccolo ($\ll \frac{x}{\log \log x}$). Poiché $\frac{1}{d(d(n))} \le 1$, il loro contributo totale è trascurabile.

2. Insieme $B_2(x)$ (Fattori Primi Atipici): Interi in cui $\omega(n)$ devia significativamente dalla media $\log \log x$ (specificamente al di fuori di $[\frac{1}{2}\log \log x, 2\log \log x]$).

   • Metodo: Utilizzando la stima della varianza di Turán (Eq. 15), l'autore mostra che il numero di tali interi è $\ll \frac{x}{\log \log x}$. Anche il loro contributo è trascurabile.

3. Insieme $B_3(x)$ (Interi Privi di Quadrati Tipici): Interi che sono privi di quadrati e hanno $\omega(n)$ entro l'intervallo normale.

   • Metodo: Per $n$ privo di quadrati, $d(n) = 2^{\omega(n)}$. Di conseguenza, $d(d(n)) = d(2^{\omega(n)}) = \omega(n) + 1$.
   • Poiché $\omega(n) \approx \log \log x$, il termine $\frac{1}{d(d(n))} \approx \frac{1}{\log \log x}$.
   • La densità dei numeri privi di quadrati è $\frac{6}{\pi^2}x$. L'autore dimostra che la somma su questo insieme fornisce il limite inferiore dominante.

3. Contributi e Risultati Chiave

Teorema Principale:
L'articolo stabilisce l'ordine di grandezza per la somma ibrida:
$$\sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \asymp \frac{x}{\log \log x}$$
Ciò significa che esistono costanti positive $c_{min}$ e $c_{max}$ tali che per $x$ sufficientemente grande:
$$c_{min} \frac{x}{\log \log x} \le \sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \le c_{max} \frac{x}{\log \log x}$$

Congettura:
Per analogia con l'equivalenza asintotica congetturata per l'ibrido Titchmarsh-Ramanujan (Gabdullin et al.), l'autore congetturà una formula asintotica precisa:
$$\sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \sim c_3 \frac{x}{\log \log x}$$
per una certa costante $c_3 \in (0, \infty)$. L'autore nota che dimostrare l'esistenza di questa costante specifica è probabilmente un problema difficile, simile alla difficoltà della congettura Titchmarsh-Ramanujan.

4. Significato

• Collegamento di Problemi Classici: Il lavoro unisce con successo lo studio della somma di divisori iterata di Erdős e della somma di divisori reciproca di Ramanujan, creando un nuovo problema "ibrido" nella teoria analitica dei numeri.
• Gestione dei Reciproci: Dimostra come gestire le difficoltà analitiche introdotte dai reciproci nelle somme di divisori, in particolare come i casi di "divisore piccolo" (interi con pochi divisori) dominino il comportamento della somma.
• Applicazione Metodologica: L'articolo combina efficacemente i limiti di Golomb sui numeri potenti con le stime probabilistiche di Turán sulla distribuzione dei fattori primi per risolvere un problema in cui le tecniche moltiplicative standard (come il metodo dell'ipergola di Dirichlet) falliscono a causa della natura non moltiplicativa di $d(d(n))$.
• Direzioni Future: L'articolo prepara il terreno per ricerche future sulla costante precisa $c_3$ e sulla potenziale applicazione di tecniche ibride simili ad altre funzioni aritmetiche iterate.

In sintesi, Campbell dimostra che la somma dei reciproci della funzione divisore iterata cresce come $\frac{x}{\log \log x}$, un risultato che è più lento della crescita lineare della somma di Erdős non reciproca ma più veloce della crescita $\frac{x}{\sqrt{\log x}}$ della somma reciproca standard di Ramanujan.