On divisor sums due to Erd\H{o}s and Ramanujan

ジョン・M・キャンベルによる論文「On divisor sums due to Erdős and Ramanujan」の詳細な技術的要約を以下に示す。

1. 問題の定義

本論文は、解析的整数論における 2 つの古典的問題の要素を組み合わせた特定のハイブリッド除数関数和の漸近挙動を調査するものである。

• ラマヌジャンの除数関数和: 除数関数の逆数和 $\sum_{n \le x} \frac{1}{d(n)}$ に関する問題。ラマヌジャン（1915 年）は、この和が漸近的に $\frac{x}{\sqrt{\log x}}$ として振る舞うことを確立した。
• エルデシュの除数関数和: 反復除数関数の和 $\sum_{n \le x} d(d(n))$ に関する問題。エルデシュ（1950 年代）は、これが $c_1 x \log \log x$ として振る舞うことを証明した。
• ティッチマーシュの除数問題: 素数に関する和、具体的には $\sum_{p \le x} d(p-1)$ に関する問題。ガブドゥリンら（2020 年代）による最近の研究は、逆数版 $\sum_{p \le x} \frac{1}{d(p-1)}$ を分析し、それが $\frac{x}{(\log x)^{3/2}}$ のオーダーであることを証明した。

核心的な問題:
著者は、エルデシュの反復関数の逆数をとって形成される「ハイブリッド」和を研究する。
$$S(x) = \sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))}$$
逆数が存在することにより分析が著しく複雑化する。なぜなら、$d(d(n))$ が極めて小さい整数 $n$ の寄与が増幅されるからである。本論文の目的は、$S(x)$ のオーダーを決定することにある。

2. 手法

証明は、整数の集合 $\{n \le x\}$ を「典型的」な集合と「例外」的な集合に分解し、例外集合の寄与を評価し、確率論的整数論の道具を用いて主要項を見積もることに依存している。

主要な道具と定義:

• $n$ の分解: 整数は、平方因子部分 $a(n)$ と冪乗部分 $b(n)$（$n = a(n)b(n)$）に分割される。除数関数は $d(n) = 2^{\omega(a(n))} d(b(n))$ と表され、ここで $\omega(n)$ は異なる素因数の個数である。
• ゴロームの推定: 冪乗数の密度を評価するために用いられる。$\le x$ なる冪乗数の個数は $O(x^{1/2})$ である。
• トゥラーンの定量的ハーディ・ラマヌジャン定理: トゥラーン・クビリウスの不等式を用いて、$\omega(n)$ が $\log \log n$ の周りに正規分布することを示す。具体的には、分散は小さく、$\sum_{n \le N} (\omega(n) - \log \log N)^2 \ll N \log \log N$ である。
• アベルの総和法: 冪乗数にわたる和を評価して境界を得るために適用される。

証明戦略（補題分解）:
著者は、和を上下から評価するために、総和範囲 $n \le x$ を 3 つの互いに素な集合に分割する。

1. 集合 $B_1(x)$（大きな冪乗部分）: 冪乗部分 $b(n) > (\log \log x)^2$ であるような整数。

   • 手法: ゴロームの推定とアベルの総和法を用いて、著者はそのような整数の個数が少ない（$\ll \frac{x}{\log \log x}$）ことを証明する。$\frac{1}{d(d(n))} \le 1$ であるため、それらの総寄与は無視できる。

2. 集合 $B_2(x)$（非典型的な素因数）: $\omega(n)$ が平均 $\log \log x$ から著しく逸脱している（具体的には $[\frac{1}{2}\log \log x, 2\log \log x]$ の範囲外にある）ような整数。

   • 手法: トゥラーンの分散推定（式 15）を用いて、著者はそのような整数の個数が $\ll \frac{x}{\log \log x}$ であることを示す。それらの寄与もまた無視できる。

3. 集合 $B_3(x)$（典型的な平方因子整数）: 平方因子であり、かつ $\omega(n)$ が通常の範囲内にあるような整数。

   • 手法: 平方因子 $n$ に対しては、$d(n) = 2^{\omega(n)}$ となる。したがって、$d(d(n)) = d(2^{\omega(n)}) = \omega(n) + 1$ である。
   • $\omega(n) \approx \log \log x$ であるため、項 $\frac{1}{d(d(n))} \approx \frac{1}{\log \log x}$ となる。
   • 平方因子数の密度は $\frac{6}{\pi^2}x$ である。著者は、この集合にわたる和が支配的な下界を提供することを証明する。

3. 主要な貢献と結果

主要定理:
本論文は、ハイブリッド和のオーダーを確立する。
$$\sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \asymp \frac{x}{\log \log x}$$
これは、十分大きな $x$ に対して、正の定数 $c_{min}$ と $c_{max}$ が存在して、
$$c_{min} \frac{x}{\log \log x} \le \sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \le c_{max} \frac{x}{\log \log x}$$
が成り立つことを意味する。

予想:
ティッチマーシュ・ラマヌジャン型ハイブリッド（ガブドゥリンら）に関する予想された漸近等価性との類推により、著者は特定の漸近公式を予想する。
$$\sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \sim c_3 \frac{x}{\log \log x}$$
ここで、ある定数 $c_3 \in (0, \infty)$ に対して成り立つ。著者は、この特定の定数の存在を証明することが、ティッチマーシュ・ラマヌジャン予想の難しさに類似して、おそらく困難な問題であると指摘している。

4. 意義

• 古典的問題の架け橋: この研究は、エルデシュの反復除数関数和とラマヌジャンの逆数除数関数和の研究を成功裏に統合し、解析的整数論における新たな「ハイブリッド」問題を生み出した。
• 逆数の扱い: 除数関数和における逆数がもたらす解析的な困難、特に「小さな除数」の場合（除数が少ない整数）が和の挙動を支配する仕組みを、どのように扱うかを実証している。
• 方法的応用: 本論文は、冪乗数に関するゴロームの境界と、素因数分布に関するトゥラーンの確率的推定を効果的に組み合わせ、$d(d(n))$ の非乗法的性質のためにディリクレの双曲線法などの標準的な乗法的技法が失敗する問題を解決している。
• 将来の方向性: 本論文は、正確な定数 $c_3$ に関する将来の研究、および他の反復算術関数への同様のハイブリッド手法の潜在的な応用への道筋を示している。

要約すると、キャンベルは、反復除数関数の逆数和が $\frac{x}{\log \log x}$ として増加することを証明した。この結果は、逆数を持たないエルデシュ和の線形増加よりも遅いが、標準的なラマヌジャンの逆数和の $\frac{x}{\sqrt{\log x}}$ 増加よりも速いものである。