On divisor sums due to Erd\H{o}s and Ramanujan

以下是约翰·M·坎贝尔（John M. Campbell）的论文《论 Erdős 与 Ramanujan 的除数和》的详细技术总结。

1. 问题陈述

本文研究了一个特定的混合除数和的渐近行为，该和融合了解析数论中两个经典问题的要素：

• Ramanujan 除数和：涉及除数函数倒数的和，$\sum_{n \le x} \frac{1}{d(n)}$。Ramanujan（1915 年）证明该和的渐近行为为 $\frac{x}{\sqrt{\log x}}$。
• Erdős 除数和：涉及迭代除数函数的和，$\sum_{n \le x} d(d(n))$。Erdős（20 世纪 50 年代）证明该和的行为为 $c_1 x \log \log x$。
• Titchmarsh 除数问题：涉及素数上的和，具体为 $\sum_{p \le x} d(p-1)$。Gabdullin 等人（2020 年代）的最新工作分析了倒数版本 $\sum_{p \le x} \frac{1}{d(p-1)}$，证明其量级为 $\frac{x}{(\log x)^{3/2}}$。

核心问题：
作者研究了由 Erdős 迭代函数的倒数构成的“混合”和：
$$S(x) = \sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))}$$
倒数的存在显著增加了分析的复杂性，因为它放大了那些 $d(d(n))$ 异常小的整数 $n$ 的贡献。本文旨在确定 $S(x)$ 的量级。

2. 方法论

证明依赖于将整数集 $\{n \le x\}$ 分解为“典型”集和“异常”集，界定异常集的贡献，并利用概率数论工具估算主项。

关键工具与定义：

• $n$ 的分解：整数被拆分为无平方因子部分 $a(n)$ 和强幂部分 $b(n)$（其中 $n = a(n)b(n)$）。除数函数表示为 $d(n) = 2^{\omega(a(n))} d(b(n))$，其中 $\omega(n)$ 是不同素因子的个数。
• Golomb 估计：用于界定强幂数的密度。小于等于 $x$ 的强幂数数量为 $O(x^{1/2})$。
• Turán 的定量 Hardy–Ramanujan 定理：利用 Turán–Kubilius 不等式证明 $\omega(n)$ 在 $\log \log n$ 附近呈正态分布。具体而言，方差很小：$\sum_{n \le N} (\omega(n) - \log \log N)^2 \ll N \log \log N$。
• Abel 求和：应用于对强幂数求和以推导界限。

证明策略（引理分解）：
作者将求和范围 $n \le x$ 划分为三个不相交的集合，以从上下界界定该和：

1. 集合 $B_1(x)$（大强幂部分）：强幂部分 $b(n) > (\log \log x)^2$ 的整数。

   • 方法：利用 Golomb 估计和 Abel 求和，作者证明此类整数的数量很少（$\ll \frac{x}{\log \log x}$）。由于 $\frac{1}{d(d(n))} \le 1$，它们的总贡献可忽略不计。

2. 集合 $B_2(x)$（非典型素因子）：$\omega(n)$ 显著偏离均值 $\log \log x$ 的整数（具体指落在 $[\frac{1}{2}\log \log x, 2\log \log x]$ 范围之外）。

   • 方法：利用 Turán 的方差估计（公式 15），作者证明此类整数的数量为 $\ll \frac{x}{\log \log x}$。它们的贡献同样可忽略不计。

3. 集合 $B_3(x)$（典型无平方因子整数）：无平方因子且 $\omega(n)$ 处于正常范围内的整数。

   • 方法：对于无平方因子 $n$，有 $d(n) = 2^{\omega(n)}$。因此，$d(d(n)) = d(2^{\omega(n)}) = \omega(n) + 1$。
   • 由于 $\omega(n) \approx \log \log x$，项 $\frac{1}{d(d(n))} \approx \frac{1}{\log \log x}$。
   • 无平方因子数的密度为 $\frac{6}{\pi^2}x$。作者证明，该集合上的和提供了主导的下界。

3. 主要贡献与结果

主要定理：
本文确立了混合和的量级：
$$\sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \asymp \frac{x}{\log \log x}$$
这意味着存在正常数 $c_{min}$ 和 $c_{max}$，使得对于足够大的 $x$：
$$c_{min} \frac{x}{\log \log x} \le \sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \le c_{max} \frac{x}{\log \log x}$$

猜想：
通过与 Titchmarsh-Ramanujan 混合和的猜想渐近等价性（Gabdullin 等人）进行类比，作者猜想了一个精确的渐近公式：
$$\sum_{n \le x} \frac{1}{d(d(n))} \sim c_3 \frac{x}{\log \log x}$$
其中 $c_3 \in (0, \infty)$ 为某个常数。作者指出，证明该特定常数的存在可能是一个难题，其难度类似于 Titchmarsh-Ramanujan 猜想。

4. 意义

• ** bridging 经典问题**：该工作成功统一了对 Erdős 迭代除数和与 Ramanujan 倒数除数和的研究，在解析数论中创造了一个新的“混合”问题。
• 处理倒数：它展示了如何处理除数和中由倒数引入的分析困难，特别是“小除数”情况（即除数较少的整数）如何主导和的行为。
• 方法论应用：本文有效地结合了 Golomb 关于强幂数的界限与 Turán 关于素因子分布的概率估计，解决了这样一个问题：由于 $d(d(n))$ 的非乘性性质，标准的乘性技术（如 Dirichlet 双曲线法）在此失效。
• 未来方向：本文为未来研究精确常数 $c_3$ 以及将类似的混合技术应用到其他迭代算术函数奠定了基础。

总之，坎贝尔证明了迭代除数函数的倒数之和的增长量为 $\frac{x}{\log \log x}$，这一结果的增长速度慢于非倒数 Erdős 和的线性增长，但快于标准 Ramanujan 倒数和的 $\frac{x}{\sqrt{\log x}}$ 增长。