A Staggered Discontinuous Galerkin Method for linear elasticity problem on Polytopal Meshes

Sintesi Tecnica: Un Metodo Discontinuous Galerkin Stazionato per l'Elasticità Lineare su Mesh Politopali

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta l'approssimazione numerica del problema di elasticità lineare utilizzando il principio variazionale misto di Hellinger-Reissner. L'obiettivo è approssimare simultaneamente il tensore dello stress simmetrico $\sigma \in H(\text{div}, \Omega; S)$ e il campo di spostamento $u \in L^2(\Omega; \mathbb{R}^d)$. Le principali sfide nella discretizzazione di questa formulazione mista sono triplici: (i) soddisfare la condizione di inf-sup per garantire la stabilità; (ii) imporre sia la simmetria del tensore dello stress che la continuità normale attraverso i confini degli elementi; e (iii) raggiungere tassi di convergenza ottimali. I metodi esistenti spesso si affidano ai gradi di libertà (DoF) dei vertici, il che ostacola l'ibridazione, o impiegano una simmetria debole, che può non soddisfare rigorosamente il bilancio del momento angolare localmente. Inoltre, molti metodi faticano con il fenomeno del "locking" nel limite incompressibile ($\lambda \to \infty$).

Metodologia
Gli autori propongono un nuovo metodo Staggered Discontinuous Galerkin (SDG) definito su mesh politopali arbitrarie. L'approccio utilizza una struttura di mesh primo-duale:

1. Costruzione della Mesh: Una mesh primaria $K_h$ consiste in elementi politopali generici. Una mesh duale $K^*_h$ viene costruita collegando il baricentro di ogni elemento primario ai suoi vertici, creando una triangolazione raffinata $T_h$.
2. Continuità Stazionata (Staggered): Il metodo inverte le assegnazioni di continuità utilizzate nei precedenti lavori di SDG per l'elasticità.
   • Stress ($\sigma_h$): Definito come polinomi a tratti sulla triangolazione raffinata $T_h$. Fondamentalmente, lo stress è fortemente simmetrico e possiede continuità normale attraverso i confini degli elementi primari ($K \in K_h$).
   • Spostamento ($u_h$): Approssimato da polinomi a tratti sugli elementi primari $K_h$. Lo spostamento è continuo attraverso i confini degli elementi duali ($\omega_F \in K^*_h$).
3. Spazi di Elementi Finiti:
   • Lo spazio dello stress $\Sigma_h$ è costruito per essere conforme a $H(\text{div})$ con simmetria forte. I DoF locali sono definiti tramite flussi normali sulle facce primarie e momenti interiori, evitando gli incogniti basati sui vertici.
   • Lo spazio dello spostamento $U_h$ consiste in polinomi vettoriali sugli elementi primari.
   • Per l'ordine più basso ($k=0$), lo spazio dello stress è arricchito con spazi di moto rigido per garantire la ben-posedness.
4. Formulazione Variazionale: Lo schema è derivato dal primo sistema di elasticità lineare. Include termini di stabilizzazione che coinvolgono la divergenza dello stress e i salti nei flussi normali attraverso le facce interne della triangolazione raffinata. Questi termini sono progettati per prevenire il locking numerico piuttosto che per imporre la continuità.
5. Ibridazione: Il metodo ammette una struttura ibridabile. Introducendo moltiplicatori di Lagrange sui confini degli elementi, la variabile dello stress può essere condensata staticamente, risultando in un sistema globale che coinvolge solo i DoF di confine dello spostamento.

Contributi Chiave

• Simmetria Forte su Politopi: L'articolo costruisce spazi di stress simmetrici con continuità normale su mesh politopali arbitrarie senza fare affidamento sui DoF dei vertici. Ciò è ottenuto attraverso una specifica decomposizione geometrica dello spazio dello stress e la selezione accurata dei DoF.
• Continuità Invertita: A differenza dei precedenti metodi SDG per l'elasticità [31, 41] che impongono una simmetria debole, questo lavoro impone una simmetria forte scambiando i pattern di continuità di stress e spostamento rispetto alle mesh primaria e duale.
• Proprietà Libera dal Locking (Locking-Free): Si dimostra che il metodo è privo di locking. La stabilità e la convergenza rimangono robuste nel limite incompressibile ($\lambda \to \infty$) perché i termini di stabilizzazione controllano la traccia dello stress indipendentemente dai parametri di Lamé.
• Conservazione Locale: La formulazione preserva il bilancio locale del momento lineare (tramite l'equazione di divergenza) e del momento angolare (tramite la forte simmetria del tensore dello stress).
• Struttura Ibridabile: L'assenza di DoF dei vertici permette una procedura di ibridazione che riduce significativamente la dimensione del sistema lineare globale, semplificando l'implementazione e riducendo il costo computazionale.

Risultati

• Analisi Teorica: Gli autori forniscono un'analisi teorica completa, dimostrando la ben-posedness dello schema tramite condizioni di inf-sup discrete e coercitività. Vengono derivati tassi di convergenza a priori ottimali, mostrando una convergenza di $O(h^{k+1})$ per lo stress nella norma dell'energia e $O(h^{k+1})$ per lo spostamento in una norma discreta di tipo $H^1$, e $O(h^{k+2})$ per lo spostamento nella norma $L^2$.
• Esperimenti Numerici:
  • Validazione del Locking-Free: Test numerici su mesh triangolari con variabili parametri di Lamé ($\lambda = 1, 10^2, 10^4, 10^6$) dimostrano che l'errore rimane indipendente da $\lambda$, confermando la natura locking-free del metodo.
  • Tassi di Convergenza: Esperimenti sia su mesh triangolari che su mesh poligonali generali confermano gli ordini di convergenza teorica per $k=0$ e $k=1$.
  • Flessibilità Politopale: Il metodo gestisce con successo mesh poligonali generiche, dimostrando la sua applicabilità oltre le standard griglie simpliciali o quadrangolari.

Significato
L'articolo sostiene che questo lavoro estende il framework SDG, precedentemente applicato all'equazione di Poisson [16], al campo più complesso dell'elasticità lineare. Il significato risiede nel fornire un metodo che combina simmetria forte, continuità normale e ibridabilità su mesh politopali generali senza DoF dei vertici. Ciò affronta una difficoltà di lunga data nei metodi agli elementi finiti misti per l'elasticità, dove soddisfare simultaneamente simmetria e continuità spesso porta a elementi complessi con DoF dei vertici o richiede una simmetria debole. Il metodo proposto offre un'alternativa robusta, priva di locking e teoricamente solida, che è anche computazionalmente efficiente grazie alla sua struttura ibridabile.