A Staggered Discontinuous Galerkin Method for linear elasticity problem on Polytopal Meshes

技術要約：多角形メッシュ上での線形弾性学のためのスタッガード不連続ガラーキン法

問題提起
本論文は、ヘリンジャー・ライスナーナー混合変分原理を用いた線形弾性問題の数値近似について扱う。目的は、対称応力テンソル $\sigma \in H(\text{div}, \Omega; S)$ と変位場 $u \in L^2(\Omega; \mathbb{R}^d)$ を同時に近似することである。この混合定式化を離散化する際の主な課題は、以下の3点に集約される。(i) 安定性を確保するためのインフ・サップ（inf-sup）条件の充足、(ii) 応力の対称性と要素境界における法線方向の連続性の両方の強制、(iii) 最適な収束率の達成である。既存の手法は、ハイブリダイゼーションを妨げる頂点の自由度（DoF）に依存するか、あるいは弱対称性を採用しており、これらは局所的な角運動量のバランスを厳密に満たさない場合がある。さらに、多くの手法は、非圧縮極限（$\lambda \to \infty$）において「ロッキング」現象に苦慮する。

手法
著者らは、任意の多角形メッシュ上で定義された新しいスタッガード不連続ガラーキン（SDG）法を提案している。この手法は、原始的（primal）および双対（dual）なメッシュ構造を利用する。

1. メッシュ構成: 原始的メッシュ $K_h$ は、一般的な多角形要素で構成される。双対メッシュ $K^*_h$ は、各原始要素の重心をその頂点に接続することで作成される、精緻化された三角形分割 $T_h$ である。
2. スタッガード連続性: 本手法は、従来のSDG弾性学の研究における連続性の割り当てを逆転させている。
   • 応力 ($\sigma_h$): 精緻化された三角形分割 $T_h$ 上の区分的多項式として定義される。決定的なのは、応力が強対称（strongly symmetric）であり、かつ原始要素（$K \in K_h$）の境界において法線方向の連続性を持つことである。
   • 変位 ($u_h$): 原始要素 $K_h$ 上の区分的多項式によって近似される。変位は、双対要素（$\omega_F \in K^*_h$）の境界において連続である。
3. 有限要素空間:
   • 応力空間 $\Sigma_h$ は、強対称性を備えた $H(\text{div})$-適合的な空間として構成される。局所的なDoFは、頂点ベースの未知数を用いず、原始的な面上の法線フラックスと内部モーメントを通じて定義される。
   • 変位空間 $U_h$ は、原始セル上のベクトル値多項式からなる。
   • 最低次（$k=0$）の場合、ウェルポーズド（well-posed）性を確保するために、応力空間は剛体運動空間で拡張される。
4. 変分定式化: 本スキームは、一次の線形弾性系の系から導出される。これには、応力の発散（divergence）と精緻化された三角形分割の内部面におけるフラックスのジャンプを含む安定化項が含まれる。これらの項は、連続性を強制するためではなく、ロッキングを防ぐように設計されている。
5. ハイブリダイゼーション: 本手法はハイブリダイゼーション可能な構造を有している。要素境界にラグランジュ乗数を導入することで、応力変数を静的に縮退させることができ、結果として変位の境界DoFのみを含むグローバルな系を得ることができる。

主要な貢献

• 多角形上での強対称性: 頂点DoFに依存することなく、任意の多角形メッシュ上で、法線方向の連続性を備えた対称応力空間を構築した。これは、応力空間の特定の幾何学的分解と、DoFの慎重な選択によって達成される。
• 逆転された連続性: 弱対称性を強制する従来のSDG弾性学の手法 [31, 41] とは異なり、本研究では、原始メッシュと双対メッシュに対する応力と変位の連続性パターンを入れ替えることで、強対称を強制している。
• ロッキングフリー特性: 本手法はロッキングフリーであることが証明されている。安定性と収束性は、安定化項がラメ定数に依存せずに応力のトレースを制御するため、非圧縮極限（$\lambda \to \infty$）においても堅牢である。
• 局所保存性: 本定式化は、局所的な線形運動量のバランス（発散方程式による）および角運動量のバランス（応力テンソルの強対称性による）を保持する。
• ハイブリダイゼーション構造: 頂点DoFが存在しないことにより、ハイブリダイゼーション手順が可能となり、グローバルな線形系のサイズを大幅に縮小し、実装を簡素化して計算コストを削減できる。

結果

• 理論的解析: 著者らは、離散的なインフ・サップ条件と強コエルシビティ（coercivity）を通じて、スキームのウェルポーズド性を証明する包括的な理論的解析を提供している。最適なa priori誤差評価が導出されており、エネルギーノルムにおける応力の収束率が $O(h^{k+1})$、離散 $H^1$ 様ノルムにおける変位の収束率が $O(h^{k+1})$、および $L^2$ ノルムにおける変位の収束率が $O(h^{k+2})$ であることを示している。
• 数値実験:
  • ロッキングフリーの検証: ラメ定数が変化する（$\lambda = 1, 10^2, 10^4, 10^6$）三角形メッシュを用いた数値テストにより、誤差が $\lambda$ に依存しないことが示され、本手法のロッキングフリーな性質が確認された。
  • 収束率: 三角形および一般的な多角形メッシュの両方を用いた実験により、$k=0$ および $k=1$ における理論的な収束次数が確認された。
  • 多角形の柔軟性: 本手法は一般的な多角形メッシュを正常に扱うことができ、標準的な単体や四角形グリッドを超えた適用可能性を示している。

意義
本論文は、ポアソン方程式 [16] に適用されていたSDGフレームワークを、より複雑な線形弾性学の分野へと拡張したものであると主張している。その意義は、強対称、法線方向の連続性、およびハイブリダイゼーション可能性を、頂点自由度を用いることなく一般的な多角形メッシュ上で組み合わせた手法を提供した点にある。これは、対称性と連続性を同時に満たすことが、頂点DoFを伴う複雑な要素を必要とするか、あるいは弱対称性を要求するという、混合有限要素法における長年の困難に対処するものである。提案された手法は、理論的に健全であり、そのハイブリダイゼーション可能な構造により計算効率も高い、堅牢でロッキングフリーな代替案を提供する。