A Staggered Discontinuous Galerkin Method for linear elasticity problem on Polytopal Meshes

Technische Samenvatting: Een Staggered Discontinuous Galerkin-methode voor Lineaire Elasticiteit op Polytopale Rasters

Probleemstelling
Dit artikel behandelt de numerieke benadering van het lineaire elasticiteitsprobleem met behulp van het Hellinger-Reissner gemengde variatiemodel. Het doel is om simultaan de symmetrische spanningstensor $\sigma \in H(\text{div}, \Omega; S)$ en het verplaatsingsveld $u \in L^2(\Omega; \mathbb{R}^d)$ te benaderen. De primaire uitdagingen bij het discretiseren van deze gemengde formulering zijn drieledig: (i) het voldoen aan de inf-sup conditie om stabiliteit te garanderen; (ii) het afdwingen van zowel de symmetrie van de spanningstensor als de normale continuïteit over de grenzen van de elementen; en (iii) het bereiken van optimale convergentiesnelheden. Bestaande methoden vertrouwen vaak op vertex vrijheidsgraden (DoFs), wat hybridisatie belemmert, of maken gebruik van zwakke symmetrie, wat de balans van het impulsmoment lokaal mogelijk niet strikt kan voldoen. Bovendien hebben veel methoden moeite met "locking" in de incompressibele limiet ($\lambda \to \infty$).

Methodologie
De auteurs stellen een nieuwe Staggered Discontinuous Galerkin (SDG) methode voor, gedefinieerd op willekeurige polytopale rasters. De aanpak maakt gebruik van een primair-duaal rasterstructuur:

1. Rasterconstructie: Een primair raster $K_h$ bestaat uit algemene polytopale elementen. Een duaal raster $K^*_h$ wordt geconstrueerd door het zwaartepunt van elk primair element te verbinden met zijn hoekpunten, wat een verfijnde triangulatie $T_h$ creëert.
2. Staggered Continuïteit: De methode draait de toewijzing van continuïteit om die in eerdere SDG-elasticiteitswerken werd gevonden.
   • Spanning ($\sigma_h$): Gedefinieerd als stuksgewijze polynomen op de verfijnde triangulatie $T_h$. Cruciaal is dat de spanning sterk symmetrisch is en normale continuïteit bezit over de grenzen van de primaire elementen ($K \in K_h$).
   • Verplaatsing ($u_h$): Benaderd door stuksgewijze polynomen op de primaire elementen $K_h$. De verplaatsing is continu over de grenzen van de duale elementen ($\omega_F \in K^*_h$).
3. Eindige Element Ruimtes:
   • De spanningsruimte $\Sigma_h$ is geconstrueerd om $H(\text{div})$-conforme met sterke symmetrie te zijn. De lokale DoFs worden gedefinieerd via normale fluxen op primaire zijden en interne momenten, waarbij vertex-onbekenden worden vermeden.
   • De verplaatsingsruimte $U_h$ bestaat uit vectorwaardige polynomen op primaire cellen.
   • Voor de laagste orde ($k=0$) wordt de spanningsruimte verrijkt met rigide bewegingsruimten om welbepogenheid te garanderen.
4. Variatiemodel: Het schema is afgeleid van het eerste-orde systeem van lineaire elasticiteit. Het bevat stabilisatietermen die de divergentie van de spanning en sprongen in normale fluxen over interne zijden van de verfijnde triangulatie omvatten. Deze termen zijn ontworpen om numerieke locking te voorkomen in plaats van continuïteit af te dwingen.
5. Hybridisatie: De methode staat een hybridiseerbare structuur toe. Door Lagrange-multiplicatoren op de elementgrenzen te introduceren, kan de spanningsvariabele statisch worden gecondenseerd, wat resulteert in een globaal systeem dat alleen de rand-DoFs van de verplaatsing betreft.

Belangrijkste Bijdragen

• Sterke Symmetrie op Polytopen: Het artikel construeert symmetrische spanningsruimten met normale continuïteit op willekeurige polytopale rasters zonder afhankelijk te zijn van vertex DoFs. Dit wordt bereikt door een specifieke geometrische decompositie van de spanningsruimte en de zorgvuldige selectie van DoFs.
• Omgekeerde Continuïteit: In tegenstelling tot eerdere SDG-elasticiteitsmethoden [31, 41] die zwakke symmetrie afdwingen, dwingt dit werk sterke symmetrie af door de continuïteitspatronen van spanning en verplaatsing ten op 달리 de primaire en duale rasters te wisselen.
• Locking-vrije Eigenschap: De methode is bewezen locking-vrij te zijn. De stabiliteit en convergentie blijven robuust in de incompressibele limiet ($\lambda \to \infty$) omdat de stabilisatietermen de trace van de spanning onafhankelijk van de Lamé-parameters controleren.
• Lokale Conservering: De formulering behoudt de lokale balans van lineair impulsmoment (via de divergentievergelijking) en het impulsmoment (via de sterke symmetrie van de spanningstensor).
• Hybridiseerbare Structuur: De afwezigheid van vertex DoFs maakt een hybridisatieprocedure mogelijk die de grootte van het globale lineaire systeem aanzienlijk reduceert, wat de implementatie vereenvoudigt en de computationele kosten verlaagt.

Resultaten

• Theoretische Analyse: De auteurs bieden een uitgebreide theoretische analyse en bewijzen de welbepogenheid van het schema via discrete inf-sup condities en coerciviteit. Optimale a priori foutschattingen worden afgeleid, waarbij convergentiesnelheden van $O(h^{k+1})$ voor de spanning in de energie-norm en de verplaatsing in een discrete $H^1$-achtige norm, en $O(h^{k+2})$ voor de verplaatsing in een $L^2$-norm worden getoond.
• Numerieke Experimenten:
  • Locking-vrije Validatie: Numerieke tests op driehoekige rasters met variërende Lamé-parameters ($\lambda = 1, 10^2, 10^4, 10^6$) laten zien dat de fout onafhankelijk is van $\lambda$, wat de locking-vrije aard van de methode bevestigt.
  • Convergentiesnelheden: Experimenten op zowel driehoekige als algemene polygonale rasters bevestigen de theoretische convergentieordes voor $k=0$ en $k=1$.
  • Polytopale Flexibiliteit: De methode handelt algemene polygonale rasters succesvol af, wat de toepasbaarheid ervan buiten standaard simplex- of kwadratische roosters aantoont.

Betekenis
Het artikel beweert dat dit werk het SDG-raamwerk, eerder toegepast op de Poisson-vergelijking [16], uitbreidt naar het complexere veld van lineaire elasticiteit. De betekenis ligt in het bieden van een methode die sterke symmetrie, normale continuïteit en hybridiseerbaarheid combineert op algemene polytopale rasters zonder vertex vrijheidsgraden. Dit adresseert een langdurige moeilijkheid in gemengde eindige elementenmethoden voor elasticiteit, waarbij het gelijktijdig voldoen aan symmetrie en continuïteit vaak leidt tot complexe elementen met vertex DoFs of vereist dat men terugvalt op zwakke symmetrie. De voorgestelde methode biedt een robuust, locking-vrij alternatief dat theoretisch solide en computationeel efficiënt is dankzij de hybridiseerbare structuur.