Infinitesimal Causality

Sintesi Tecnica: Causalità Infinitesimale

Enunciato del Problema
I trattamenti categoriali attuali dell'inferenza causale, come il calcolo del do categoriale e la chirurgia dei diagrammi a stringhe (Fritz e Klingler, 2023; Jacobs et al., 2018), formalizzano le intervezioni a livello di struttura combinatoria discreta. Questi framework spiegano come riscrivere la sintassi causale (ad esempio, tagliare i fili, condizionare sugli output), ma non affrontano la geometria infinitesimale di come le intervezioni deformano i manifold statistici. Essi mancano, nello specifico, di un meccanismo per descrivere come il confondimento latente si manifesti come ostacoli geometrici (ad esempio, Lie bracket non nulli) indipendentemente da una specifica presentazione grafica. Il saggio affronta la necessità di un framework in cui le intervezioni siano trattate come deformazioni tangenti della struttura di copia/scarto (copy/discard) portata dalle variabili osservabili, permettendo così la rilevazione dell'insufficienza causale attraverso difetti derivativi piuttosto che tramite riscritture grafiche.

Metodologia
Il saggio introduce il Calcolo del Do Infinitesimale (IDC), un account categoriale della causalità infinitesimale all'interno di categorie di Markov Frobenius dotate di semantica del fibrato tangente. La metodologia si basa su tre livelli concettuali:

1. Struttura di Markov: Fornisce la sintassi del ragionamento probabilistico (osservazione, condizionamento, inversione Bayesiana).
2. Struttura Frobenius: Fornisce la sintassi dell'informazione classica, dove le variabili osservabili (specificamente le statistiche sufficienti) possono essere copiate, confrontate e scartate tramite un particolare comonoido Frobenius commutativo $(\delta, \varepsilon)$.
3. Struttura Tangente: Le intervezioni sono modellate come campi vettoriali (vettori tangenti) che deformano le operazioni di copia/scarto Frobenius.

L'innovazione tecnica centrale è la definizione di difetti derivativi Frobenius. Invece di riscrivere diagrammi, l'IDC analizza se i campi di intervezione infinitesimale preservano la struttura algebrica delle osservazioni classiche. Il framework distingue tra:

• Struttura Frobenius Algebrica: Le operazioni categoriali di copia/scarto sulle statistiche sufficienti.
• Integrabilità Frobenius Geometrica: La condizione secondo cui la distribuzione dei campi di intervezione è involutiva (chiusa sotto i Lie bracket).

Il saggio definisce una categoria Stat$^\infty$ di modelli statistici regolari a dimensione finita presentati da statistiche sufficienti, e una sottocategoria strutturale Stat$^\infty_{SCM}$ dove la stocasticità è portata da variabili esogene e le leggi visibili sono pushforward di meccanismi deterministici. In questo setting, le intervezioni sono definite come vettori tangenti sullo spazio esogeno, proiettati sul bundle tangente visibile, evitando le singolarità associate ai rapporti di densità di Radon–Nikodym globali.

Contributi Chiave

1. Definizione di Stat$^\infty$ e Stat$^\infty_{SCM}$: Il saggio definisce un substrato categoriale per i modelli statistici in cui le statistiche sufficienti portano la struttura Frobenius e gli spazi dei parametri portano la struttura tangente. Isola una sottocategoria in cui i meccanismi sono deterministici e la stocasticità è esogena, permettendo di definire intervezioni infinitesimali sul bundle tangente esogeno prima della proiezione.
2. Sufficienza Causale Categoriale: La sufficienza causale viene ridefinita come la coincidenza di due condizioni: (a) la struttura algebrica di copia/scarto Frobenius è preservata dalle intervezioni, e (b) la distribuzione dei campi di intervezione è involutiva (chiusa sotto i Lie bracket).
3. Difetti Derivati Frobenius: Il saggio introduce $\partial_i \delta_j$ come l'ostacolo fondamentale alla conservazione della copia tramite intervezione infinitesimale. Un difetto non nullo indica che un'intervezione deforma la struttura di copia di una variabile, segnalando un fallimento della sufficienza causale o la presenza di confondimento latente.
4. Tre Regole di Intervezione Infinitesimale: Le classiche regole del calcolo del do sono riformulate come equazioni che coinvolgono strutture Frobenius e campi tangenti:
   • Regola 1 (Irrilevanza): Lo scarto di una variabile irrilevante commuta con l'intervezione se la derivata di Lie della counit è nulla ($L_{v_i}\varepsilon_j = 0$).
   • Regola 2 (Scambio Azione/Osservazione): Lo scambio di azione per osservazione preserva il coproduttore Frobenius se il difetto derivativo Frobenius è nullo ($\partial_i \delta_j = 0$) dopo il trasporto di Kan.
   • Regola 3 (Indipendenza): Le intervezioni indipendenti sono chiuse sotto la distribuzione tangente visibile se il residuo del Lie bracket è nullo ($[v_i, v_j] \perp \mathcal{A}_{vis} = 0$).
5. Presentazioni vs. Fondazioni: Il saggio postula che i modelli causali grafici siano meri presentazioni dell'oggetto Frobenius-Markov sottostante, non gli oggetti primitivi della teoria. Argomenta che la sintassi grafica finita (come grafi o imsets) è non-conservativa, poiché diverse presentazioni possono indurre algebra Frobenius visibili isomorfe.

Risultati

• Teorema 4.7 (A-ciclicità Frobenius): Su uno strato visibile separato, la sufficienza causale categoriale è equivalente alla "commutatività Frobenius tangente", ovvero ogni campo di intervezione visibile preserva la struttura di copia/scarto Frobenius, e la distribuzione di intervezione visibile è involutiva.
• Teorema 6.7: Le tre regole infinitesimali (invarianza della counit, intertwining del coproduttore e chiusura del bracket) caratterizzano la sufficienza causale visibile.
• Corollario 6.8: Nel caso piatto (residui di curvatura nulli), le regole infinitesimali si riducono alle trasformazioni classiche del calcolo del do discreto.
• Teorema 7.3: L'assegnazione dalle presentazioni grafiche finite ai dati Frobenius/tangenti visibili non è conservativa; presentazioni non isomorfe possono indurre la stessa struttura algebrica visibile.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di fornire il primo trattamento del calcolo del do in un setting di categoria tangente, spostando l'attenzione dalla chirurgia grafica alla geometria differenziale dei manifold statistici. Il suo significato primario risiede in:

• Invarianti Geometrici: Identificare i "difetti derivativi Frobenius" e i Lie bracket non nulli come firme geometriche intrinseche del confondimento latente, indipendenti dalla selezione del grafo.
• Gestione delle Singolarità: Formulando le intervezioni sul bundle tangente esogeno (Stat$^\infty_{SCM}$), il framework evita i problemi di supporto e le singolarità spesso incontrati quando si definiscono intervezioni "hard" tramite rapporti di densità globali sulle variabili osservate.
• Spostamento Fondazionale: Propone che l'inferenza causale debba iniziare con gli invarianti infinitesimali compatibili con la struttura Frobenius dell'oggetto statistico osservato, trattando qualsiasi sintassi grafica o algebrica finita (come grafi o imsets) come una presentazione secondaria di tali invarianti.

Il saggio limita esplicitamente il proprio ambito alla formulazione del substrato, alla connessione con il trasporto di Kan e all'enunciazione delle tre regole. Riconosce che la piena teoria della sufficienza causale, la costruzione di una teoria di coomologia Frobenius-Markov e l'estrazione funtoriale delle presentazioni grafiche dai dati tangenti sono lasciate come lavori futuri.