Infinitesimal Causality

Resumo Técnico: Causalidade Infinitesimal

Problema
Os tratamentos categóricos atuais da inferência causal, como o cálculo do-categórico e a cirurgia de diagramas de cordas (Fritz e Klingler, 2023; Jacobs et al., 2018), formalizam intervenções ao nível da estrutura combinatória discreta. Esses frameworks explicam como reescrever a sintaxe causal (por exemplo, cortando fios, condicionando em saídas), mas não abordam a geometria infinitesimal de como as intervenções deformam variedades estatísticas. Especificamente, eles carecem de um mecanismo para descrever como o confundimento latente se manifesta como obstruções geométricas (por exemplo, colchetes de Lie não nulos) independentemente de qualquer apresentação gráfica específica. O artigo aborda a necessidade de um framework onde as intervenções sejam tratadas como deformações tangentes da estrutura de cópia/descarte (copy/discard) carregada pelas variáveis observáveis, permitindo a detecção de insuficiência causal através de defeitos de derivada em vez de reescritas gráficas.

Metodologia
O artigo introduz o Cálculo do-Infinitesimal (IDC), uma conta categórica da causalidade infinitesimal dentro de categorias de Markov de Frobenius equipadas com semântica de fibrado tangente. A metodologia baseia-se em três camadas conceituais:

1. Estrutura de Markov: Fornece a sintaxe do raciocínio probabilístico (observação, condicionamento, inversão Bayesiana).
2. Estrutura de Frobenius: Fornece a sintaxe da informação clássica, onde variáveis observáveis (especificamente estatísticas suficientes) podem ser copiadas, comparadas e descartadas via um comonóide de Frobenius comutativo especial $(\delta, \varepsilon)$.
3. Estrutura Tangente: As intervenções são modeladas como campos vetoriais (vetores tangentes) que deformam as operações de cópia/descarte de Frobenius.

A inovação técnica central é a definição de defeitos de derivada de Frobenius. Em vez de reescrever diagramas, o IDC analisa se os campos de intervenção infinitesimal preservam a estrutura algébrica das observações clássicas. O framework distingue entre:

• Estrutura Algébrica de Frobenius: As operações de cópia/descarte categóricas sobre estatísticas suficientes.
• Integrabilidade Geométrica de Frobenius: A condição de que a distribuição dos campos de intervenção é involutiva (fechada sob colchetes de Lie).

O artigo define uma categoria Stat$^\infty$ de modelos estatísticos finitos regulares apresentados por estatísticas suficientes, e uma subcategoria estrutural Stat$^\infty_{SCM}$ onde a estocasticidade é carregada por variáveis exógenas e as leis visíveis são pushforwards de mecanismos determinísticos. Neste cenário, as intervenções são definidas como vetores tangentes no espaço exógeno, projetados para o espaço visível, evitando singularidades associadas a razões de densidade de Radon–Nikodym globais.

Principais Contribuições

1. Definição de Stat$^\infty$ e Stat$^\infty_{SCM}$: O artigo define um substrato categórico para modelos estatísticos onde as estatísticas suficientes carregam estrutura de Frobenius e os espaços de parâmetros carregam estrutura tangente. Ele isola uma subcategoria onde os mecanismos são determinísticos e a estocasticidade é exógena, permitindo que intervenções infinitesimais sejam definidas no fibrado tangente exógeno antes da projeção.
2. Suficiência Causal Categórica: A suficiência causal é redefinida como a coincidência de duas condições: (a) a estrutura algébrica de cópia/descarte de Frobenius é preservada pelas intervenções, e (b) a distribuição dos campos de intervenção é involutiva (fechada sob colchetes de Lie).
3. Defeitos de Derivada de Frobenius: O artigo introduz $\partial_i \delta_j$ como a obstrução básica à intervenção infinitesimal que preserva a cópia. Um defeito não nulo indica que uma intervenção deforma a estrutura de cópia de uma variável, sinalizando uma falha de suficiência causal ou a presença de confundimento latente.
4. Três Regras de Intervenção Infinitesimal: As regras clássicas do cálculo do- são reformuladas como equações envolvendo estruturas de Frobenius e campos tangentes:
   • Regra 1 (Irrelevância): Descartar uma variável irrelevante comuta com a intervenção se a derivada de Lie da corotante (counit) desaparecer ($L_{v_i}\varepsilon_j = 0$).
   • Regra 2 (Troca de Ação/Observação): Trocar ação por observação preserva o coproduto de Frobenius se o defeito de derivada de Frobenius desaparecer ($\partial_i \delta_j = 0$) após o transporte de Kan.
   • Regra 3 (Independência): Intervenções independentes fecham sob a distribuição tangente visível se o resíduo do colchete de Lie desaparecer ($[v_i, v_j] \perp \mathcal{A}_{vis} = 0$).
5. Apresentações vs. Fundações: O artigo postula que modelos causais gráficos são meras apresentações do objeto de Markov-Frobenius subjacente, não os objetos primitivos da teoria. Argumenta-se que a sintaxe gráfica finita (como grafos ou imsets) é não-conservativa, pois diferentes apresentações podem induzir álgebras de Frobenius visíveis isomórficas.

Resultos

• Teorema 4.7 (Aciclicidade de Frobenius): Em uma camada visível separada, a suficiência causal categórica é equivalente à "comutatividade de Frobenius tangente", o que significa que todo campo de intervenção visível preserva a estrutura de cópia/descarte de Frobenius, e a distribuição de intervenção visível é involutiva.
• Teorema 6.7: As três regras infinitesimais (invariância da corotante, entrelaçamento do coproduto e fechamento do colchete) caracterizam a suficiência causal visível.
• Corolário 6.8: No caso plano (resíduos de curvatura nulos), as regras infinitesimais reduzem-se às transformações clássicas do cálculo do- discreto.
• Teorema 7.3: A atribuição de apresentações gráficas finitas para dados tangentes/de Frobenius visíveis não é conservativa; apresentações não isomórficas podem induzir a mesma estrutura algébrica visível.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer o primeiro tratamento do cálculo do em um cenário de categoria tangente, mudando o foco da cirurgia gráfica para a geometria diferencial de variedades estatísticas. Sua principal significância reside em:

• Invariantes Geométricos: Identificar "defeitos de derivada de Frobenius" e colchetes de Lie não nulos como assinaturas geométricas intrínsecas de confundimento latente, independentes da seleção do grafo.
• Tratamento de Singularidades: Ao formular intervenções no fibrado tangente exógeno (Stat$^\infty_{SCM}$), o framework evita problemas de suporte e singularidades frequentemente encontrados ao definir intervenções rígidas via razões de densidade globais em variáveis observadas.
• Mudança Fundamental: Propõe que a inferência causal deve começar com invariantes infinitesimais compatíveis com Frobenius do objeto estatístico observado, tratando qualquer sintaxe gráfica ou algébrica finita (como grafos ou imsets) como uma apresentação secundária desses invariantes.

O artigo limita explicitamente seu escopo à formulação do substrato, à conexão com o transporte de Kan e à declaração das três regras. Reconhece que a construção completa da teoria de suficiência causal, a construção de uma teoria de cohomologia de Markov-Frobenius e a extração funcional de apresentações gráficas a partir de dados tangentes são deixadas para trabalhos futuros.