Infinitesimal Causality

Resumen Técnico: Causalidad Infinitesimal

Planteamiento del Problema
Los tratamientos categóricos actuales de la inferencia causal, tales como el cálculo de do categórico y la cirugía de diagramas de cuerdas (Fritz y Klingler, 2023; Jacobs et al., 2018), formalizan las intervenciones al nivel de la estructura combinatoria discreta. Estos marcos explican cómo reescribir la sintaxis causal (por ejemplo, cortar cables, condicionar sobre salidas), pero no abordan la geometría infinitesimal de cómo las intervenciones deforman las variedades estadísticas. Específicamente, carecen de un mecanismo para describir cómo el confusión latente (latent confounding) se manifiesta como obstrucciones geométricas (por ejemplo, corchetes de Lie no nulos) independientemente de cualquier presentación gráfica específica. El artículo aborda la necesidad de un marco donde las intervenciones sean tratadas como deformaciones tangentes de la estructura de copia/descarte (copy/discard) transportada por las variables observables, permitiendo la detección de la insuficiencia causal a través de defectos de derivada en lugar de reescrituras gráficas.

Metodología
El artículo introduce el Cálculo de Do Infinitesimal (IDC), una cuenta categórica de la causalidad infinitesimal dentro de las categorías de Markov Frobenius equipadas con semántica de haz tangente. La metodología se basa en tres capas conceptuales:

1. Estructura de Markov: Proporciona la sintaxis del razonamiento probabilístico (observación, condicionamiento, inversión bayesiana).
2. Estructura Frobenius: Proporciona la sintaxis de la información clásica, donde las variables observables (específicamente los estadísticos suficientes) pueden ser copiadas, comparadas y descartadas mediante un comonoideside conmutativo especial $(\delta, \varepsilon)$.
3. Estructura Tangente: Las intervenciones se modelan como campos vectoriales (vectores tangentes) que deforman las operaciones de copia/descarte Frobenius.

La innovación técnica central es la definición de defectos de la derivada Frobenius. En lugar de reescribir diagramas, el IDC analiza si los campos de intervención infinitesimal preservan la estructura algebraica de las observaciones clásicas. El marco distingue entre:

• Estructura Frobenius Algebraica: Las operaciones categóricas de copia/descarte sobre los estadísticos suficientes.
• Integrabilidad Frobenius Geométrica: La condición de que la distribución de los campos de intervención sea involutiva (cerrada bajo corchetes de Lie).

El artículo define una categoría Stat$^\infty$ de modelos estadísticos finitos de dimensión regular presentados por estadísticos suficientes, y una subcategoría estructural Stat$^\infty_{SCM}$ donde la estocasticidad es transportada por variables exógenas y las leyes visibles son imágenes directas (pushforwards) de mecanismos deterministas. En este entorno, las intervenciones se definen como vectores tangentes en el espacio exógeno, proyectados al espacio visible, evitando las singularidades asociadas con las razones de densidad de Radon–Nikodym globales.

Contribuciones Clave

1. Definición de Stat$^\infty$ y Stat$^\infty_{SCM}$: El artículo define un sustrato categórico para los modelos estadísticos donde los estadísticos suficientes portan la estructura Frobenius y los espacios de parámetros portan la estructura tangente. Aísla una subcategoría donde los mecanismos son deterministas y la estocasticidad es exógena, permitiendo que las intervenciones infinitesimales se definan en el haz tangente exógeno antes de su proyección.
2. Suficiencia Causal Categórica: La suficiencia causal se redefine como la coincidencia de dos condiciones: (a) la estructura algebraica de copia/descarte Frobenius es preservada por las intervenciones, y (b) la distribución de los campos de intervención es involutiva (cerrada bajo corchetes de Lie).
3. Defectos de la Derivada Frobenius: El artículo introduce $\partial_i \delta_j$ como la obstrucción básica a la intervención infinitesimal que preserva la copia. Un defecto no nulo indica que una intervención deforma la estructura de copia de una variable, señalando un fallo de la suficiencia causal o la presencia de confusión latente.
4. Tres Reglas de Intervención Infinitesimal: Las reglas clásicas del cálculo de do se reformulan como ecuaciones que involucran estructuras Frobenius y campos tangentes:
   • Regla 1 (Irrelevancia): Descartar una variable irrelevante conmuta con la intervención si la derivada de Lie de la contrasímbolo (counit) se anula ($L_{v_i}\varepsilon_j = 0$).
   • Regla 2 (Intercambio Acción/Observación): Intercambiar acción por observación preserva el coproducto Frobenius si el defecto de la derivada Frobenius se anula ($\partial_i \delta_j = 0$) tras el transporte de Kan.
   • Regla 3 (Independencia): Las intervenciones independientes cierran bajo la distribución tangente visible si el residuo del corchete de Lie se anula ($[v_i, v_j] \perp \mathcal{A}_{vis} = 0$).
5. Presentaciones vs. Fundamentos: El artículo postula que los modelos causales gráficos son meramente presentaciones del objeto de Markov-Frobenius subyacente, no los objetos primitivos de la teoría. Argumenta que la sintaxis gráfica finita (como grafos o imsets) no es conservativa, ya que diferentes presentaciones pueden inducir álgebras Frobenius visibles isomorfas.

Resultados

• Teorema 4.7 (Aciclicidad Frobenius): En un estrato visible separado, la suficiencia causal categórica es equivalente a la "comutatividad de la tangente Frobenius", lo que significa que todo campo de intervención visible preserva la estructura de copia/descarte Frobenius, y la distribución de intervención visible es involutiva.
• Teorema 6.7: Las tres reglas infinitesimales (invarianza de la contrasímbolo, entrelazamiento del coproducto y cierre del corchete) caracterizan la suficiencia causal visible.
• Corolario 6.8: En el caso plano (residuo de curvatura nulo), las reglas infinitesimales se reducen a las transformaciones clásicas del cálculo de do discreto.
• Teorema 7.3: La asignación de presentaciones gráficas finitas a los datos tangentes/Frobenius visibles no es conservativa; presentaciones no isomorfas pueden inducir la misma estructura algebraica visible.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar el primer tratamiento del cálculo de do en un entorno de categoría tangente, desplazando el enfoque de la cirugía gráfica hacia la geometría diferencial de las variedades estadísticas. Su principal significancia radica en:

• Invariantes Geométricos: Identificar los "defectos de la derivada Frobenius" y los corchetes de Lie no nulos como firmas geométricas intrínsecas de la confusión latente, independientes de la selección del grafo.
• Manejo de Singularidades: Al formular las intervenciones en el haz tangente exógeno (Stat$^\infty_{SCM}$), el marco evita los problemas de soporte y las singularidades que suelen encontrarse al definir intervenciones duras mediante razones de densidad globales sobre las variables observadas.
• Cambio Fundamental: Propone que la inferencia causal debe comenzar con los invariantes infinitesimales compatibles con Frobenius del objeto estadístico observado, tratando cualquier sintaxis gráfica o algebraica finita (como grafos o imsets) como una presentación secundaria de estos invariantes.

El artículo limita explícitamente su alcance a la formulación del sustrato, la conexión con el transporte de Kan y el enunciado de las tres reglas. Reconoce que la teoría completa de la suficiencia causal, la construcción de una teoría de cohomología de Markov-Frobenius y la extracción functorial de presentaciones gráficas a partir de datos tangentes quedan como trabajo futuro.