$(a,a)$-Carmichael numbers and greatest common divisors of $p-a$

Sintesi Tecnica: Numeri di Carmichael $(a, a)$ e Massimi Comuni Divisori di $P - a$

Enunciato del Problema
Il documento affronta la distribuzione e la costruzione dei numeri di Carmichael $(a, a)$. Un intero composto, privo di quadrati, $n$ è definito come un numero di Carmichael $(a, a)$ se per ogni fattore primo $p$ di $n$, la condizione $p - a \mid n - a$ è soddisfatta. Questo generalizza la definizione classica dei numeri di Carmichael (dove $a=1$), che soddisfano $p-1 \mid n-1$.

Il problema centrale investigato è se esistano infiniti tali numeri con un massimo comune divisore (MCD) limitato dei termini $p - a$. Nello specifico, per un dato numero di Carmichael $(a, a)$ con fattori primi $p_1, \dots, p_m$, sia $K = \gcd(p_1 - a, \dots, p_m - a)$. Il documento cerca di determinare il limite inferiore per $C_\nu(X, a)$, il conteggio dei numeri di Carmichael $(a, a)$ fino a $X$ dove $K = \nu$.

Questa indagine è inquadrata come un passaggio intermedio verso una questione aperta più ampia: se esistano infiniti numeri di Carmichael $(a, a)$ divisibili per un primo fissato $Q$. Le precedenti costruzioni di numeri di Carmichael (ad esempio, Alford, Granville e Pomerance [1]) richiedevano generalmente che l'MCD $K$ crescesse all'aumentare di $n$, impedendo la costruzione di infiniti numeri divisibili per un primo fissato. L'autore mira a dimostrare che $K$ può essere mantenuto costante (specificamente $K=\nu$) pur generando un ampio insieme di tali numeri.

Metodologia
La dimostrazione si basa su un framework di costruzione condizionale che modifica l'approccio combinatorio standard utilizzato in [1], [17] e [18]. La metodologia coinvolge i seguenti componenti chiave:

1. Assunzione Condizionale: I risultati sono condizionati alla Congettura 2, una versione indebolita di una congettura di Heath-Brown riguardante il primo primo in una progressione aritmetica. La congettura postula che per ogni $A \ge 2$, se $l$ è sufficientemente grande e $(b, l) = 1$, esiste un primo $p \equiv b \pmod l$ tale che $p < l(\log l)^A$. Ciò garantisce l'esistenza di piccoli moltiplicatori nelle progressioni aritmetiche.

2. Costruzione Duale di Insiemi di Primi:

   • L'autore costruisce due insiemi disgiunti di primi, $Q_1$ e $Q_2$, derivati da prodotti di primi $r$ nell'intervallo $[z/2, z]$.
   • Questi insiemi sono utilizzati per formare grandi interi $L_1$ e $L_2$. Fondamentalmente, la costruzione assicura che la funzione lambda di Carmichael $\lambda(L_1 L_2)$ sia estremamente piccola rispetto a $L_1 L_2$ (specificamente $\lambda(L_1 L_2) \le e^{4/5 z}$).
   • Due insiemi di primi, $P_{k_1}$ e $P_{k_2}$, sono definiti sulla base di progressioni aritmetiche modulo $L_1$ e $L_2$ rispettivamente. I parametri $k_1$ e $k_2$ sono scelti come piccoli interi tali che i primi in $P_{k_1}$ siano della forma $d_1 k_1 \nu + a$ e i primi in $P_{k_2}$ siano della forma $d_2 k_2 \nu + a$.

3. Selezione Combinatoria:

   • Utilizzando un teorema di van Emde Boas, Kruyswijk e Meshulam riguardante le sottosequenze a somma zero in $(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^\times$, l'autore dimostra che esistono sottoinsiemi di primi all'interno di $P_{k_1}$ e $P_{k_2}$ i cui prodotti, $n_1$ e $n_2$, soddisfano specifiche condizioni di congruenza.
   • Nello specifico, $n_1 \equiv 1 \pmod{L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu}$ e $n_2 \equiv 1 \pmod{L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu}$, dove $P = L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu + a$ è un primo specifico trovato tramite la congettura.

4. Costruzione Finale:

   • Il numero di Carmichael $(a, a)$ finale è costruito come $n = P n_1 n_2$.
   • La struttura assicura che per ogni fattore primo $p$ di $n$, $p - a$ divida $n - a$.
   • Un lemma critico dimostra che per questa costruzione, $\gcd(p_1 - a, p_2 - a) = \nu$ per i primi provenienti dai diversi insiemi, garantendo che l'MCD globale $K$ sia esattamente $\nu$.

Contributi Chiave e Risultati
Il risultato primario è il Teorema 1, che stabilisce un limite inferiore per il numero di numeri di Carmichael $(a, a)$ con un MCD fissato $\nu$.

• Teorema: Assumendo che la Congettura 2 sia valida, per ogni intero $a$ e per ogni numero naturale $\nu$ tale che $(a, \nu) = 1$ e $a, \nu$ abbiano parità opposta:
  $$C_\nu(X, a) \ge X^{1 - (2+o(1)) \frac{\log \log \log \log X}{\log \log \log X}}$$
• Significato del Limite: Questo limite inferiore è identico a quello precedentemente stabilito dall'autore in [17] per il conteggio totale dei numeri di Carmichael classici ($C(X, 1)$).
• Divergenza dalla Tradizione: A differenza delle costruzioni tradizionali dove l'MCD $K$ deve crescere con $n$ per garantire l'esistenza di un numero sufficiente di primi, questo risultato dimostra che si può mantenere $K = \nu$ fisso e ottenere comunque un insieme di numeri grande.

Significato e Rivendicazioni
Il documento sostiene che questo risultato è una significativa divergenza dai metodi precedenti nello studio dei numeri di Carmichael.

• MCD Limitato: Risolve una specifica questione intermedia (Domanda 5 nell'introduzione) mostrando che il numero di numeri di Carmichael $(a, a)$ con un MCD $\nu$ limitato non è trascurabile; piuttosto, è dello stesso ordine asintotico dell'insieme totale dei numeri di Carmichael.
• Implicazioni per Questioni Aperte: Sebbene il documento riconosca che la questione completa se esistano infiniti numeri di Carmichael $(a, a)$ divisibili per un primo fissato $Q$ rimanga fuori portata, questo risultato suggerisce che il vincolo di un MCD limitato non riduce significativamente la densità di tali numeri.
• Ottimalità: L'autore nota che il limite inferiore derivato è vicino al limite superiore congetturale per il numero totale di numeri di Carmichael (proposto da Pomerance), suggerendo che l'insieme dei numeri di Carmichael $(a, a)$ con $K$ limitato costituisce una parte sostanziale dell'insieme totale.

Il documento non pretende di provare incondizionatamente l'infinitudine di tali numeri, né di risolvere direttamente la questione per i divisori primi fissi $Q$. Inveve, fornisce una prova condizionata che il vincolo di "MCD limitato" è compatibile con l'alta densità dei numeri di Carmichael.