$(a,a)$-Carmichael numbers and greatest common divisors of $p-a$

技术摘要：$(a, a)$-卡迈克尔数与 $P - a$ 的最大公约数

问题陈述
本文研究了 $(a, a)$-卡迈克尔数的分布与构造。一个合数、无平方因子整数 $n$ 被定义为 $(a, a)$-卡迈克尔数，若对于 $n$ 的每一个素因子 $p$，条件 $p - a \mid n - a$ 均成立。这推广了经典的卡迈克尔数定义（其中 $a=1$），即满足 $p-1 \mid n-1$。

核心研究问题在于，是否存在无穷多个具有有界最大公约数（GCD）的项 $p-a$ 的 $(a, a)$-卡迈克尔数。具体而言，对于给定的 $(a, a)$-卡迈克尔数 $n$，其素因子为 $p_1, \dots, p_m$，令 $K = \gcd(p_1 - a, \dots, p_m - a)$。本文旨在确定 $C_\nu(X, a)$ 的下界，其中 $C_\nu(X, a)$ 表示在不超过 $X$ 的 $(a, a)$-卡迈克尔数中，$K = \nu$ 的计数。

这一探究被框架化为一个更广泛开放问题的中间步骤：是否存在无穷多个能被固定素数 $Q$ 整除的 $(a, a)$-卡迈克尔数。以往的卡迈克尔数构造方法（例如 Alford, Granville, 和 Pomerance [1]）通常要求 GCD $K$ 随着 $n$ 的增加而增长，这阻碍了构造能被固定素数整除的无穷多个数的尝试。作者的目标是展示，即使保持 $K$ 为常数（具体为 $K=\nu$），仍然可以生成大量的此类数字。

方法论
证明依赖于一个条件构造框架，该框架修改了 [1], [17], 以及 [18] 中使用的标准组合方法。该方法论包含以下关键组成部分：

1. 条件假设： 结果是基于 猜想 2 的，这是一个关于算术级数中第一个素数的 Heath-Brown 猜想的弱化版本。该猜想指出，对于任何 $A \ge 2$，若 $l$ 足够大且 $(b, l) = 1$，则存在一个素数 $p \equiv b \pmod l$，使得 $p < l(\log l)^A$。这确保了算术级数中存在较小的乘数。

2. 素数集的双重构造：

   • 作者通过区间 $[z/2, z]$ 内的素数 $r$ 的乘积，构造了两个不相交的素数集 $Q_1$ 和 $Q_2$。
   • 这些集合被用于形成大整数 $L_1$ 和 $L_2$。至关重要的是，构造确保了卡迈克尔 $\lambda$ 函数 $\lambda(L_1 L_2)$ 相对于 $L_1 L_2$ 是极其微小的（具体为 $\lambda(L_1 L_2) \le e^{4/5 z}$）。
   • 分别基于模 $L_1$ 和 $L_2$ 的算术级数定义了两个素数集 $P_{k_1}$ 和 $P_{k_2}$。参数 $k_1$ 和 $k_2$ 被选择为较小的整数，使得 $P_{k_1}$ 中的素数为 $d_1 k_1 \nu + a$ 的形式，而 $P_{k_2}$ 中的素数为 $d_2 k_2 \nu + a$ 的形式。

3. 组合选择：

   • 利用 van Emde Boas, Kruyswijk, 和 Meshulam 关于 $(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^\times$ 中零和子序列的定理，作者证明了存在 $P_{k_1}$ 和 $P_{k_2}$ 的子集，其乘积 $n_1$ 和 $n_2$ 满足特定的同余条件。
   • 具体而言，$n_1 \equiv 1 \pmod{L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu}$ 且 $n_2 \equiv 1 \pmod{L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu}$，其中 $P = L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu + a$ 是通过该猜想找到的一个特定素数。

4. 最终构造：

   • 最终的 $(a, a)$-卡迈克尔数构造为 $n = P n_1 n_2$。
   • 该结构确保了对于 $n$ 的任何素因子 $p$，$p - a$ 均整除 $n - a$。
   • 一个关键引理证明，对于此构造，来自不同集合的素数满足 $\gcd(p_1 - a, p_2 - a) = \nu$，从而确保全局 GCD $K$ 恰好为 $\nu$。

主要贡献与结果
主要结果是 定理 1，它确立了具有固定 GCD $\nu$ 的 $(a, a)$-卡迈克尔数的数量的下界。

• 定理： 假设猜想 2 成立，对于任何满足 $(a, \nu) = 1$ 且 $a, \nu$ 奇偶性不同的整数 $a$ 和自然数 $\nu$：
  $$C_\nu(X, a) \ge X^{1 - (2+o(1)) \frac{\log \log \log \log X}{\log \log \log X}}$$
• 下界的显著性： 该下界与作者在 [17] 中为经典卡迈克尔数总数 ($C(X, 1)$) 所建立的下界一致。
• 对传统的偏离： 不同于传统构造中为了保证存在足够的素数而必须让 GCD $K$ 随 $n$ 增长的情况，这一结果表明，我们可以固定 $K = \nu$，同时仍能获得一个“接近最优”的下界。

意义与主张
本文声称，这一结果是卡迈克尔数研究领域的一次重要突破。

• 有界 GCD： 它通过展示具有有界 GCD $\nu$ 的 $(a, a)$-卡迈克尔数的数量并非微不足道，而是与卡迈克尔数总集的渐近阶数相同，解决了特定的中间问题（引言中的问题 5）。
• 对开放问题的启示： 虽然论文承认，关于是否存在无穷多个能被固定素数 $Q$ 整除的 $(a, a)$-卡迈克尔数的完整问题仍未解决，但这一结果表明，有界 GCD 的约束并不会显著减少此类数字的密度。
• 最优性： 作者指出，推导出的下界接近于 Pomerance 提出的卡迈克尔数总数的猜想上界，这表明具有有界 $K$ 的 $(a, a)$-卡迈克尔数集合构成了总集中的实质性部分。

本文并未声称无条件地证明此类数字的无穷性，也没有直接解决关于固定素数除数 $Q$ 的问题。相反，它提供了一个条件证明，证明了“有界 GCD”这一约束与卡迈克尔数的高密度是相容的。