$(a,a)$-Carmichael numbers and greatest common divisors of $p-a$

Resumen Técnico: Números de Carmichael $(a, a)$ y Máximos Comunes Divisores de $P - A$

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la distribución y construcción de los números de Carmichael $(a, a)$. Se define un número entero compuesto y libre de cuadrados como un número de Carmichael $(a, a)$ si para cada factor primo $p$ de $n$, se cumple la condición $p - a \mid n - a$. Esto generaliza la definición clásica de los números de Carmichael (donde $a=1$), que satisfacen $p-1 \mid n-1$.

El problema central investigado es si existen infinitos tales números con un máximo común divisor (MCD) acotado de los términos $p-a$. Específicamente, para un número de Carmichael $(a, a)$ dado con factores primos $p_1, \dots, p_m$, sea $K = \gcd(p_1 - a, \dots, p_m - a)$. El artículo busca determinar el límite inferior para $C_\nu(X, a)$, el conteo de números de Carmichael $(a, a)$ hasta $X$ donde $K = \nu$.

Esta indagación se enmarca como un paso intermedio hacia una cuestión abierta más amplia: si existen infinitos números de Carmichael $(a, a)$ divisibles por un primo fijo $Q$. Las construcciones previas de números de Carmichael (por ejemplo, Alford, Granville y Pomerance [1]) generalmente requerían que el MCD $K$ creciera a medida que $n$ aumentaba, lo que impedía la construcción de infinitos números divisibles por un primo fijo. El autor pretende demostrar que $K$ puede mantenerse constante (específicamente $K=\nu$) y aun así generar un gran conjunto de tales números.

Metodología
La demostración se basa en un marco de construcción condicional que modifica el enfoque combinatorio estándar utilizado en [1], [17] y [18]. La metodología involucra los siguientes componentes clave:

1. Supuesto Condicional: Los resultados están condicionados a la Conjetura 2, una versión debilitada de una conjetura de Heath-Brown sobre el primer primo en una progresión aritmética. La conjetura postula que para cualquier $A \ge 2$, si $l$ es suficientemente grande y $(b, l) = 1$, existe un primo $p \equiv b \pmod l$ tal que $p < l(\log l)^A$. Esto asegura la existencia de multiplicadores pequeños en progresiones aritméticas.

2. Construcción Dual de Conjuntos de Primos:

   • El autor construye dos conjuntos disjuntos de primos, $Q_1$ y $Q_2$, derivados de productos de primos $r$ en el rango $[z/2, z]$.
   • Estos conjuntos se utilizan para formar grandes enteros $L_1$ y $L_2$. Crucialmente, la construcción asegura que la función lambda de Carmichael $\lambda(L_1 L_2)$ sea extremadamente pequeña en relación con $L_1 L_2$ (específicamente $\lambda(L_1 L_2) \le e^{4/5 z}$).
   • Se definen dos conjuntos de primos, $P_{k_1}$ y $P_{k_2}$, basados en progresiones aritméticas módulo $L_1$ y $L_2$ respectivamente. Los parámetros $k_1$ y $k_2$ se eligen como enteros pequeños tales que los primos en $P_{k_1}$ son de la forma $d_1 k_1 \nu + a$ y los primos en $P_{k_2}$ son de la forma $d_2 k_2 \nu + a$.

3. Selección Combinatoria:

   • Utilizando un teorema de van Emde Boas, Kruyswijk y Meshulam sobre subsecuencias de suma cero en $(\mathbb{Z}/M\mathbb{Z})^\times$, el autor demuestra que existen subconjuntos de primos dentro de $P_{k_1}$ y $P_{k_2}$ cuyos productos, $n_1$ y $n_2$, satisfacen condiciones de congruencia específicas.
   • Específicamente, $n_1 \equiv 1 \pmod{L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu}$ y $n_2 \equiv 1 \pmod{L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu}$, donde $P = L_1 L_2 k_1 k_2 k_3 \nu + a$ es un primo específico encontrado mediante la conjetura.

4. Construcción Final:

   • El número de Carmichael $(a, a)$ final se construye como $n = P n_1 n_2$.
   • La estructura asegura que para cualquier factor primo $p$ de $n$, $p - a$ divide a $n - a$.
   • Un lema crítico demuestra que para esta construcción, $\gcd(p_1 - a, p_2 - a) = \nu$ para primos de los diferentes conjuntos, asegurando que el MCD global $K$ sea exactamente $\nu$.

Contribuciones Clave y Resultados
El resultado principal es el Teorema 1, que establece un límite inferior para el número de números de Carmichael $(a, a)$ con un MCD fijo $\nu$.

• Teorema: Asumiendo que la Conjetura 2 se cumple, para cualquier entero $a$ y cualquier número natural $\nu$ tal que $(a, \nu) = 1$ y $a, \nu$ tienen paridad opuesta:
  $$C_\nu(X, a) \ge X^{1 - (2+o(1)) \frac{\log \log \log \log X}{\log \log \log X}}$$
• Significado del Límite: Este límite inferior es idéntico al establecido previamente por el autor en [17] para el conteo total de los números de Carmichael clásicos ($C(X, 1)$).
• Desviación de la Tradición: A diferencia de las construcciones tradicionales donde el MCD $K$ debe crecer con $n$ para asegurar la existencia de suficientes primos, este resultado demuestra que uno puede fijar $K = \nu$ y aun así alcanzar un límite inferior que está "cerca de ser lo mejor posible".

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma que este resultado es una desviación significativa de los métodos previos en el estudio de los números de Carmichael.

• MCD Acotado: Resuelve una pregunta intermedia específica (Pregunta 5 en la introducción) al mostrar que el número de números de Carmichael $(a, a)$ con un MCD acotado $\nu$ no es negligible; más bien, es del mismo orden asintótico que el conjunto total de los números de Carmichael.
• Implicaciones para Cuestiones Abiertas: Aunque el artículo reconoce que la cuestión completa de si existen infinitos números de Carmichael $(a, a)$ divisibles por un primo fijo $Q$ sigue fuera de alcance, este resultado sugiere que la restricción de un MCD acotado no reduce significativamente la densidad de tales números.
• Optimidad: El autor señala que el límite inferior derivado está cerca del límite superior conjeturado para el número total de números de Carmichael (propuesto por Pomerance), lo que sugiere que el conjunto de números de Carmichael $(a, a)$ con $K$ acotado constituye una parte sustancial del conjunto total.

El artículo no pretende probar la infinitud de tales números de forma incondicional, ni resolver la cuestión para divisores primos fijos $Q$ directamente. En su lugar, proporciona una prueba condicional de que la restricción de "MCD acotado" es compatible con la alta densidad de los números de Carmichael.