Data-driven Kernel-based Predictive Control with Stability and Robustness Guarantees

Sintesi Tecnica: Controllo Predittivo Basato su Kernel Guidato dai Dati con Garanzie di Stabilità e Robustezza

Formulazione del Problema
Il documento affronta il controllo di sistemi non lineari discreti nel tempo sconosciuti utilizzando esclusivamente dati di ingresso-uscita. Sebbene il Controllo Predittivo basato su Modello (MPC) sia efficace per gestire vincoli e non linearità, la sua dipendenza da modelli parametrici accurati ne limita l'applicazione a sistemi complessi e ad alta dimensionalità, dove la modellazione è costosa o impraticabile. Gli esistenti metodi di controllo predittivo guidati dai dati (DDPC), ampiamente basati sul lemma fondamentale di Willems, sono limitati principalmente ai sistemi lineari tempo-invarianti (LTI). Sebbene recenti estensioni tentino di gestire le non linearità tramite linearizzazione locale, reti neurali o metodi kernel, tali approcci spesso mancano di garanzie teoriche rigorose riguardanti la fattibilità ricorsiva e la stabilità a ciclo chiuso, in particolare quando vengono omessi insiemi terminali e costi terminali. La sfida principale consiste nello sviluppare un framework di controllo guidato dai dati per sistemi non lineari sconosciuti che fornisca garanzie formali di stabilità senza richiedere l'identificazione esplicita del sistema o ingredienti terminali.

Metodologia
Il framework proposto, denominato Data-driven Kernel-based Predictive Control (DDKPC), costruisce un predittore multi-step direttamente da traiettorie storiche di ingresso-uscita utilizzando metodi kernel e il teorema del rappresentante.

1. Predittore Multi-step basato su Kernel: Gli autori assumono che il comportamento ingresso-uscita del sistema possa essere rappresentato in uno Spazio di Hilbert Riproduttivo (RKHS). Invece di apprendere un modello spazio-stato, essi approssimano la mappatura non lineare sconosciuta dalle condizioni iniziali e dai futuri ingressi verso i futuri output. Ciò viene ottenuto tramite un estimatore basato su kernel adattato a dati offline. Il predittore cattura implicitamente la dinamica non lineare e il teorema del rappresentante assicura che l'estimatore assuma una forma lineare a dimensione finita nello spazio delle caratteristiche, permettendo l'uso di espliciti limiti di errore.
2. Schema di Controllo Nominale: Per dati privi di rumore, il problema di controllo è formulato come un'ottimizzazione che minimizza un costo di fase quadratico soggetto a un vincolo di uguaglianza implicito derivato dal predittore kernel. Per gestire l'inevitabile discrepanza tra l'approssimazione kernel e il sistema reale, viene introdotta una variabile di slack nei vincoli, penalizzata nella funzione obiettivo. L'analisi teorica dimostra che se l'orizzonte di predizione è sufficientemente lungo e l'errore di rappresentazione kernel è sufficientemente piccolo, lo schema garantisce la fattibilità ricorsiva e la stabilità pratica a ciclo chiuso. Fondamentalmente, queste garanzie sono ottenute senza i convenzionali insiemi terminali o costi terminali.
3. Rilassamento Computazionale: Riconoscendo che il vincolo kernel implicito rende il problema di ottimizzazione non convesso, gli autori introducono una formulazione di rilassamento per penalità. Questo converte il duro vincolo di uguaglianza in un termine di penalità quadratica all'interno della funzione obiettivo, consentendo l'uso di metodi di ottimizzazione efficienti del primo ordine (ad esempio, gradiente proiettato) per l'implementazione in tempo reale.
4. Robustezza al Rumore: Per affrontare il rumore di misura sia nella raccolta dei dati offline che nell'operatività online, il framework aggrega l'errore di rappresentazione kernel e il rumore di misura limitato in un unico limite di incertezza. La formulazione del controllo viene modificata per scalare i pesi di regolarizzazione in base a questo limite, garantendo una stabilità robusta.
5. Estensione a Sistemi Tempo-Varianti: Per sistemi non lineari lentamente tempo-varianti, dove un dizionario offline fisso diventa obsoleto, gli autori propongono un'estensione online. Questa prevede il mantenimento di un dizionario online a budget fisso gestito dal criterio di Dipendenza Lineare Approssimata (ALD). Nuovi punti dati vengono ammessi in base alla loro novità informativa, e punti ridondanti vengono eliminati. Il predittore kernel viene ricostruito periodicamente dal dizionario in evoluzione. L'analisi teorica dimostra che la fattibilità ricorsiva e la stabilità pratica sono preservate sotto tassi limitati di variazione del sistema e condizioni di errore di predizione online uniformi.

Contributi Chiave
Il documento presenta tre contributi primari:

• Framework DDKPC Nominale: Stabilisce un framework DDKPC per sistemi non lineari sconosciuti che fornisce provabile fattibilità ricorsiva e stabilità pratica senza fare affidamento su ingredienti terminali. Utilizza una strategia di rilassamento per penalità per facilitare l'efficienza del calcolo in tempo reale.
• Estensione della Robustezza: Estende sistematicamente le garanzie teoriche per accomodare il rumore di misura aggregando l'incertezza dei dati e il disallineamento della rappresentazione in un limite unificato, garantendo la stabilità in ambienti rumorosi.
• Adattamento Tempo-Variante: Estende il framework a sistemi non lineari lentamente tempo-varianti tramite un dizionario online gestito da ALD e aggiornamenti periodici del predittore. Dimostra che la fattibilità ricorsiva e la stabilità pratica sono mantenute sotto l'evoluzione a tasso limitato e le condizioni di errore di predizione online uniformi.

Risultati
L'efficacia dell'approccio proposto è validata attraverso esempi numerici:

• Benchmark Veicolo Unidimensionale: Le simulazioni su un modello di veicolo non lineare dimostrano che il DDKPC basato su kernel stabilizza con successo il sistema e traccia i riferimenti, mentre il DDPC lineare standard fallisce. I risultati mostrano che i kernel gaussiani superano i kernel polinomiali in termini di accuratezza a regime stazionario. Inoltre, l'uso di solver del primo ordine (FastGD) raggiunge prestazioni a ciclo chiuso comparabili ai solver di programmazione non lineare (NLP) general-purpose, ma con tempi di calcolo significativamente ridotti. Il DDKPC online con aggiornamenti periodici del dizionario mitiga efficacemente il bias di tracciamento causato da parametri lentamente tempo-varianti, superando i design statici offline.
• Simulazione di Robot Quadrupede: Una simulazione PyBullet di un robot quadrupede A1 che trasporta un carico fuori centro illustra l'applicabilità del metodo a sistemi di locomozione ricchi di contatti e non lineari. Il DDKPC agisce come un controllore di velocità residua, compensando le dinamiche indotte dal carico. I risultati mostrano riduzioni significative dell'errore quadratico medio (RMSE) di tracciamento rispetto a un controllore whole-body nominale. La variante DDKPC online si adatta più efficacementamente ai cambiamenti improvvisi del carico rispetto alla versione statica offline.

Significatività
Il documento sostiene di colmare il divario tra il controllo guidato dai dati teorico e l'applicazione pratica per i sistemi non lineari. Sfruttando il teorema del rappresentante, il metodo evita la necessità di una modellazione parametrica esplicita fornendo al contempo garanzie formali di stabilità che sono spesso assenti negli approoli basati su kernel o reti neurali esistenti. Il lavoro affronta ostacoli critici all'implementazione, inclusi l'onere computazionale dell'ottimizzazione non convessa e la presenza di rumore di misura, ed estende la teoria a scenari tempo-varianti. Gli autori sottolineano che il loro approccio offre un modo sistematico per sintetizzare controllori a orizzonte scorrevole stabilizzanti puramente dai dati di ingresso-uscita per una vasta classe di sistemi non lineari, senza richiedere misurazioni complete dello stato o complessi ingredienti terminali.