Data-driven Kernel-based Predictive Control with Stability and Robustness Guarantees

Résumé Technique : Contrôle Prédictif à Base de Noyaux Piloté par les Données avec Garanties de Stabilité et de Robustesse

Formulation du Problème
L'article traite du contrôle de systèmes non linéaires discrets inconnus en utilisant uniquement des données d'entrée-sortie. Bien que le contrôle prédictif basé sur un modèle (MPC) soit efficace pour gérer les contraintes et les non-linéarités, sa dépendance vis-à-vis de modèles paramétriques précis limite son application aux systèmes complexes et de grande dimension où la modélisation est coûteuse ou irréalisable. Les méthodes existantes de contrôle prédictif piloté par les données (DDPC), largement basées sur le lemme fondamental de Willems, sont principalement restreintes aux systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI). Bien que des extensions récentes tentent de gérer les non-linéarités via la linéarisation locale, les réseaux de neurones ou les méthodes à noyaux, ces approches manquent souvent de garanties théoriques rigoureuses concernant la faisabilité récursive et la stabilité en boucle fermée, particulièrement lorsque les ensembles terminaux et les coûts sont omis. Le défi central consiste à développer un cadre de contrôle piloté par les données pour des systèmes non linéaires inconnus qui fournit des garanties de stabilité formelles sans nécessuer d'identification de système explicite ou d'ingrédients terminaux.

Méthodologie
Le cadre proposé, nommé Contrôle Prédictif à Base de Noyaux Piloté par les Données (DDKPC), construit un prédicteur multi-étapes directement à partir de trajectoires d'entrée-sortie historiques en utilisant des méthodes à noyaux et le théorème du représentant.

1. Prédicteur Multi-étapes à Base de Noyaux : Les auteurs supposent que le comportement entrée-sortie du système peut être représenté dans un espace de Hilbert à noyau reproduisant (RKHS). Au lieu d'apprendre un modèle d'espace d'état, ils approchent la cartographie non linéaire inconnue des conditions initiales et des entrées futures vers les sorties futures. Ceci est réalisé via un estimateur à base de noyaux ajusté sur des données hors ligne. Le prédicteur capture implicitement la dynamique non linéaire, et le théorème du représentant garantit que l'estimateur prend une forme linéaire de dimension finie dans l'espace des caractéristiques, permettant ainsi des bornes d'erreur explicites.
2. Schéma de Contrôle Nominal : Pour les données sans bruit, le problème de contrôle est formulé comme une optimisation qui minimise un coût de stade quadratique sujet à une contrainte d'égalité implicite dérivée du prédicteur à noyau. Pour gérer l'écart inévitable entre l'approximation par noyau et le système réel, une variable d'écart est introduite dans les contraintes, pénalisée dans la fonction de coût. L'analyse théorique prouve que si l'horizon de prédiction est suffisamment long et que l'erreur de représentation du noyau est suffisamment petite, le schéma garantit la faisabilité récursive et une stabilité pratique en boucle fermée. Crucialement, ces garanties sont obtenues sans les ingrédients terminaux conventionnels ou les coûts terminaux.
3. Relaxation Computationnelle : Reconnaissant que la contrainte de noyau implicite rend le problème d'optimisation non convexe, les auteurs introduisent une formulation de relaxation par pénalité. Cela convertit la contrainte d'égalité stricte en un terme de pénalité quadratique au sein de la fonction de coût, permettant l'utilisation de méthodes d'optimisation efficaces de premier ordre (par exemple, la descente de gradient projetée) pour une mise en œuvre en temps réel.
4. Robustesse au Bruit : Pour traiter le bruit de mesure tant dans la collecte de données hors ligne que lors de l'opération en ligne, le cadre agrège l'erreur de représentation du noyau et le bruit de mesure borné en une borne d'incertitude unifiée. La formulation de contrôle est modifiée pour redimensionner les poids de régularisation en fonction de cette borne, assurant une stabilité robuste.
5. Extension aux Systèmes Variant dans le Temps : Pour les systèmes non linéaires variant lentement dans le temps, où un dictionnaire hors ligne fixe devient obsolète, les auteurs proposent une extension en ligne. Cela implique le maintien d'un dictionnaire en ligne à budget fixe géré par le critère de Dépendance Linéaire Approximative (ALD). De nouveaux points de données sont admis selon leur nouveauté informationnelle, et les points redondants sont élagués. Le prédicteur à noyau est reconstruit périodiquement à partir de ce dictionnaire évolutif. L'analyse théorique démontre que la faisabilité récursive et la stabilité pratique sont préservées sous des taux de variation du système bornés et des conditions d'erreur de prédiction en ligne uniformes.

Contributions Clés
Le papier présente trois contributions principales :

• Cadre DDKPC Nominal : Il établit un cadre DDKPC pour les systèmes non linéaires inconnus qui fournit une faisabilité récursive prouvable et une stabilité pratique sans dépendre d'ingrédients terminaux. Il utilise une stratégie de relaxation par pénalité pour faciliter un calcul efficace en temps réel.
• Extension de Robustesse : Il étend systématiquement les garanties théoriques pour accommoder le bruit de mesure en agrégeant l'incertitude des données et le décalage de représentation en une borne unifiée, assurant la stabilité dans des environaux bruités.
• Adaptation Temporelle : Il étend le cadre aux systèmes non linéaires variant lentement dans le temps via un dictionnaire en ligne géré par ALD et des mises à jour périodiques du prédicteur. Il prouve que la faisabilité récursive et la stabilité pratique sont conservées sous une évolution à taux borné et des conditions d'erreur de prédiction en ligne uniformes.

Résultats
L'efficacité de l'approche proposée est validée par des exemples numériques :

• Benchmark de Véhicule Monodimensionnel : Les simulations sur un modèle de véhicule non linéaire démontrent que le DDKPC à base de noyaux stabilise avec succès le système et suit les références, tandis que le DDPC linéaire standard échoue. Les résultats montrent que les noyaux gaussiens surpassent les noyaux polynomiaux en termes de précision en régime permanent. De plus, l'utilisation de solveurs de premier ordre (FastGD) permet d'atteindre une performance en boucle fermée comparable aux solveurs de programmation non linéaire (NLP) à usage général, mais avec un temps de calcul considérablement réduit. La variante DDKPC en ligne avec mises à jour périodiques du dictionnaire atténue efficacement le biais de suivi causé par des paramètres variant lentement dans le temps, surpassant les conceptions statiques hors ligne.
• Simulation de Robot Quadrupède : Une simulation PyBullet d'un robot quadrupède A1 transportant une charge décentrée illustre l'applicabilité de la méthode aux systèmes de locomotion riches en contacts et non linéaires. Le DDKPC agit comme un contrôleur de vitesse résiduelle, compensant la dynamique induite par la charge. Les résultats montrent des réductions significatives de l'erreur quadratique moyenne (RMSE) de suivi par rapport à un contrôleur de corps entier nominal. La variante DDKPC en ligne s'adapte plus efficacement aux changements soudains de charge que la version statique hors ligne.

Signification
Le papier affirme combler le fossé entre le contrôle piloté par les données théorique et l'application pratique pour les systèmes non linéaires. En exploitant le théorème du représentant, la méthode contourne le besoin de modélisation paramétrique explicite tout en fournissant des garanties de stabilité formelles qui font souvent défaut dans les approches existantes basées sur les noyaux ou les réseaux de neurones. Ce travail aborde des obstacles critiques de mise en œuvre, notamment la charge computationnelle de l'optimisation non convexe et la présence de bruit de mesure, et étend la théorie aux scénarios variant dans le temps. Les auteurs soulignent que leur approche offre une manière systématique de synthétiser des contrôleurs à horizon fuyant stabilisants purement à partir de données d'entrée-sortie pour une large classe de systèmes non linéaires, sans nécessiter de mesures d'état complètes ou d'ingrédients terminaux complexes.