Data-driven Kernel-based Predictive Control with Stability and Robustness Guarantees

기술 요약: 안정성 및 강건성 보장이 있는 데이터 기반 커널 기반 예측 제어

문제 정의
본 논문은 오직 입출력 데이터만을 사용하여 미지의 비선형 이산 시간 시스템을 제어하는 문제를 다룹니다. 모델 예측 제어(MPC)는 제약 조건과 비선면성을 처리하는 데 효과적이지만, 정확한 파라미터 모델에 대한 의존성 때문에 모델링 비용이 높거나 불가능한 복잡하고 고차원적인 시스템에 적용하는 데 한계가 있습니다. 윌렘스(Willem)의 기본 정리(fundamental lemma)에 주로 기반한 기존의 데이터 기반 예측 제어(DDPC) 방식은 주로 선형 시불변(LTI) 시스템에 국한되어 있습니다. 최근의 확장 연구들은 국부 선형화, 신경망 또는 커널 방법을 통해 비선형성을 처리하려고 시도하지만, 이러한 접근 방식들은 종종 터미널 세트(terminal sets)나 터미널 비용(terminal costs)이 생략될 경우 재귀적 가용성(recursive feasibility)과 폐루프 안정성(closed-loop stability)에 관한 엄격한 이론적 보장을 결여하고 있습니다. 핵심 과제는 명시적인 시스템 식별 없이도 공식적인 안정성 보장을 제공하는 미지 비선형 시스템을 위한 데이터 기반 제어 프레임워크를 개발하는 것입니다.

방법론
제안된 프레임워크인 데이터 기반 커널 기반 예측 제어(DDKPC)는 커널 방법과 표현 정리(representer theorem)를 사용하여 과거의 입출력 궤적으로부터 다단계 예측기를 직접 구축합니다.

1. 커널 기반 다단계 예측기: 저자들은 시스템의 입출력 거동이 재생 커널 힐베르트 공간(RKHS) 내에서 표현될 수 있다고 가정합니다. 상태 공간 모델을 학습하는 대신, 초기 조건과 미래 입력으로부터 미래 출력으로의 미지 비선형 매핑을 근사합니다. 이는 오프라인 데이터에 적합하게 학습된 커널 기반 추정기를 통해 수행됩니다. 이 예측기는 비선형 역학을 암묵적으로 포착하며, 표현 정리는 추정기가 특징 공간(feature space)에서 유한 차원의 선형 형태를 갖도록 보장하여 명시적인 오차 범위를 허용합니다.
2. 명목 제어 스킴(Nominal Control Scheme): 노이즈가 없는 데이터를 위해, 제어 문제는 커널 예측기에서 유도된 암묵적 등식 제약 조건을 따르면서 이차 단계 비용(quadratic stage cost)을 최소화하는 최적화 문제로 정식화됩니다. 커널 근사와 실제 시스템 사이의 필연적인 불일치를 처리하기 위해 제약 조건에 슬랙 변수(slack variable)를 도입하고, 이를 목적 함수에서 페널티를 부여합니다. 이론적 분석에 따르면, 예측 지평(prediction horizon)이 충분히 길고 커널 표현 오차가 충분히 작다면, 이 스킴은 재귀적 가용성과 실질적인 폐루프 안정성을 보장합니다. 결정적으로, 이러한 보장은 전통적인 터미널 세트나 터미널 비용 없이 달성됩니다.
3. 계산적 완화(Computational Relaxation): 암묵적인 커널 제약 조건이 최적화 문제를 비볼록(nonconvex)하게 만든다는 점을 인식하여, 저자들은 페널티 완화 정식화를 도입합니다. 이는 엄격한 등식 제약 조건을 목적 함수 내의 이차 페널티 항으로 변환하여, 실시간 구현을 위한 효율적인 1차 최적화 방법(예: 투영 경사 하강법)의 사용을 가능하게 합니다.
4. 노이즈에 대한 강건성: 오프라인 데이터 수집 및 온라인 운용 모두에서의 측정 노이즈를 다루기 위해, 본 프레임워크는 커널 표현 오차와 유계된 측정 노이즈를 하나의 통합된 불확실성 경계로 집계합니다. 제어 정식화는 이 경계에 따라 정규화 가중치를 재조정하도록 수정되어 강건한 안정성을 보장합니다.
5. 시변 시스템으로의 확장: 고정된 오프라인 딕셔너리가 무효화될 수 있는 느리게 변화하는 비선형 시스템을 위해, 저자들은 온라인 확장을 제안합니다. 이는 근사 선형 의존성(ALD) 기준에 의해 관리되는 고정 예산 온라인 딕셔너리를 유지하는 것을 포함합니다. 새로운 데이터 포인트는 정보적 참신함에 따라 수용되며, 중복된 포인트는 제거됩니다. 커널 예측기는 진화하는 딕셔너리로부터 주기적으로 재구성됩니다. 이론적 분석은 시스템 변화율이 유계이고 균일한 온라인 예측 오차가 존재하는 조건 하에서 재귀적 가용성과 실질적 안정성이 보존됨을 입증합니다.

주요 기여
본 논문은 세 가지 주요 기여를 합니다:

• 명목 DDKPC 프레임워크: 터미널 요소에 의존하지 않고 증명 가능한 재귀적 가용성과 실질적 안정성을 제공하는 미지 비선형 시스템을 위한 DDKPC 프레임워크를 구축합니다. 효율적인 실시간 계산을 촉진하기 위해 페널티 완화 전략을 활용합니다.
• 강건성 확장: 데이터 불확실성과 표현 불일치를 하나의 통합된 경계로 집계하여 측정 노이즈를 수용하도록 이론적 보장을 체계적으로 확장함으로써 노이즈가 있는 환경에서도 안정성을 보장합니다.
• 시변 적응: ALD로 관리되는 온라인 딕셔너리와 주기적인 예측기 업데이트를 통해 느리게 변화하는 비선형 시스템으로 프레임워크를 확장합니다. 변화율이 유계이고 균일한 온라인 예측 오차 조건 하에서 재귀적 가용성과 실질적 안정성이 유지됨을 입증합니다.

결과
제안된 접근 방식의 효과는 다음과 같은 수치적 예제를 통해 검증되었습니다:

• 1차원 차량 벤치마크: 비선형 차량 모델에 대한 시뮬레이션은 커널 기반 DDKPC가 시스템을 성공적으로 안정화하고 참조를 추적하는 반면, 표준 선형 DDPC는 실패함을 보여줍니다. 결과는 가우시안 커널이 다항 커널보다 정상 상태 정확도에서 우수함을 보여줍니다. 또한, 1차 솔버(FastGD)를 사용하는 것이 일반적인 비선형 프로그래밍(NLP) 솔버와 유사한 폐루프 성능을 달면서도 계산 시간을 크게 단축함을 보여줍니다. 주기적인 딕셔너리 업데이트를 포함하는 온라인 DDKPC는 느리게 변화하는 파라미터에 의한 추적 편향을 효과적으로 완화하여 정적 오프라인 설계보다 우수한 성능을 보입니다.
• 사족 보행 로봇 시뮬레이션: 편심 하중을 실은 A1 사족 보행 로봇의 PyBullet 시뮬레이션은 접촉이 빈번한 비선형 보행 시스템에 대한 방법의 적용 가능성을 보여줍니다. DDKPC는 잔류 속도 제어기(residual velocity controller)로서 작용하여 하중에 의한 역학을 보상합니다. 결과는 명목 전신 제어기(whole-body controller)와 비교하여 추적 RMSE(Root Mean Square Error)의 상당한 감소를 보여줍니다. 온라인 DDKPC 변형은 정적 오프라인 버전에 비해 갑작스러운 하중 변화에 더 효과적으로 적응합니다.

의의
본 논문은 이론적인 데이터 기반 제어와 비선형 시스템의 실제 응용 사이의 간극을 메운다고 주장합니다. 표현 정리를 활용함으로써, 이 방법은 명시적인 파라미터 모델링 없이도 기존의 커널 또는 신경망 기반 접근 방식에서 흔히 결여되는 공식적인 안정성 보장을 제공하면서 미지 비선형 시스템에 대한 모델링 과정을 우회합니다. 본 연구는 비볼록 최적화의 계산 부담과 측정 노이즈의 존재를 포함한 중요한 구현상의 장애물을 해결하며, 이론을 시변 시나리오로 확장합니다. 저자들은 본 접근 방식이 전체 상태 측정이나 복잡한 터미널 요소 없이도 광범위한 비선형 시스템에 대해 순수하게 입출력 데이터로부터 안정화되는 재귀적 수평 제어기를 합성하는 체계적인 방법을 제공한다고 강조합니다.