On the Chow ring of very general abelian varieties and a question of Pirola

Sintesi Tecnica di "On the Chow ring of very general abelian varieties and a question of Pirola" di Claire Voisin

Problematica
Il saggio affronta due problemi interconnessi nell'aritmetica e nella geometria delle varietà abeliane.

1. Struttura dell'anello di Chow: L'autrice indaga l'insieme dei divisori $D \in \text{CH}^1(A)_{\text{hom}}$ su una varietà abeliana molto generica $A$ di dimensione $g \geq 4$ tali che l'auto-intersezione $D^2$ sia nulla in $\text{CH}^2(A)$. Lavori precedenti avevano stabilito che per $g \geq 3$, il locus di tali divisori ha dimensione 0, ma rimaneva il dubbio se questi divisori fossero necessariamente punti di torsione.
2. La domanda di Pirola: Il saggio cerca di caratterizzare le sezioni razionali della fibrazione Kummer $K = J/\pm \text{Id} \to \mathcal{M}_4$, dove $J \to \mathcal{M}_4$ è la fibrazione universale del Jacobiano sopra lo spazio dei moduli delle curve di genere 4. Nello specifico, affronta una congettura di Pirola la quale afferma che ogni tale sezione razionale deve essere un multiplo della funzione normale di Griffiths-Pirola $\gamma_P$, che sorge dalla differenza dei due divisori trigonali su una curva di genere 4.

Metodologia
Le dimostrazioni si basano pesantemente sulla teoria degli invarianti infinitesimali di Griffiths delle funzioni normali, estesa a cicli di codimensione superiore. La strategia centrale consiste nell'analizzare la scomparsa di questi invarianti per dedurre proprietà globali delle sezioni.

1. Invarianti infinitesimali e sequenze spettrali: L'autrice utilizza l'invariante infinitesimale $\delta_Z(m)$ associato a un ciclo $Z$. Per un divisore $D$, l'invariante del quadrato $D^2$ è correlato al quadrato dell'invariante di $D$, ovvero $\delta_{D^2} = (\delta_D)^2$. Il saggio stabilisce la degenerazione di specifiche sequenze spettrali (Proposizione 2.5) per definire rigorosamente questi invarianti per famiglie di varietà abeliane.
2. Analisi algebrica della mappa del quadrato: Un componente tecnico centrale è l'analisi della mappa $M^2$ indotta dall'operazione di quadrato sullo spazio degli invarianti infinitesimali.
   • Per lo spazio dei moduli delle varietà abeliane $\mathcal{A}_g$ ($g \geq 4$), lo spazio degli invarianti è identificato con un quoziente di $\text{Hom}(V, \text{Sym}^2 V)$.
   • Per lo spazio dei moduli delle curve $\mathcal{M}_4$, lo spazio è identificato con un quoziente che coinvolge $V_2 = \text{Sym}^2 V / q$, dove $q$ è la forma quadratica che definisce l'immersione canonica di una curva di genere 4.
   • La Proposizione 3.1 dimostra che se il quadrato di un invariante svanisce (o soddisfa una specifica relazione di proporzionalità), l'invariante stesso deve essere di rango $\leq 1$ (o proporzionale all'invariante di Griffiths-Pirola). Ciò si basa su argomenti di algebra lineare riguardanti le restrizioni a sottospazi bidimensionali e la geometria della Grassmanniana.
3. Argomenti di tipo Ax-Shanuel: Una volta che un sollevamento locale di una funzione normale è mostrato avere un differenziale di rango 1 (o una specifica struttura algebrica), l'autrice impiega i risultati di tipo Ax-Shanuel (citando [6], [1], [2]) e le proprietà dei gruppi di monodromia (specificamente che l'immagine è densa in senso Zariski nel gruppo simpectico). Tali argomenti costringono la funzione normale a essere orizzontale (ovvero la sua derivata è nulla), il che implica che la sezione sia di torsione.
4. Discesa e Coomologia: Per il problema della fibrazione Kummer, l'autrice utilizza il fatto che, sebbene una sezione $\gamma$ sia definita solo a meno di segno, il suo quadrato $D_\gamma^2$ è ben definito. Confrontando $D_\gamma^2$ con il quadrato della sezione di Griffiths-Pirola $D_{\gamma_P}^2$ (utilizzando il Teorema 4.1 che stabilisce che il gruppo di Chow della fibra generica è monodimensionale), l'autrice riduce il problema alla relazione lineare degli invarianti infinitesimali derivata nella Sezione 3.

Risultati Chiave

• Teorema 1.2:

  • (i) Per una varietà abeliana molto generica $A$ di dimensione $g \geq 4$, se un divisore $D \in \text{Pic}^0(A)$ soddisfa $D^2 = 0$ in $\text{CH}^2(A)$, allora $D$ è un punto di torsione.
  • (ii) Lo stesso risultato vale per una Jacobiana molto generica di una curva di genere 4.
  • Corollario: Ciò implica che l'insieme dei punti $x \in A$ tali che $({x} - \{0_A\})^{*2} = 0$ in $\text{CH}^0(A)$ consiste esattamente nei punti di torsione.

• Teorema 1.8 (Congettura di Pirola):

  • Tutte le sezioni razionali della fibrazione Kummer $K = J/\pm \text{Id} \to \mathcal{M}_4$ sono multipli razionali della funzione normale di Griffiths-Pirola $\gamma_P$.
  • Nello specifico, ogni sezione razionale $\gamma$ soddisfa $N\gamma = N'\gamma_P$ per interi $N, N'$ con $N \neq 0$.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di risolvere la questione se la scomparsa del quadrato di un divisore nell'anello di Chow di una varietà abeliana molto generica implichi che il divisore sia di torsione, una domanda rimasta aperta per dimensioni $g \geq 4$. L'autrice nota che, sebbene il risultato sia probabilmente vero per tutti i $g \geq 4$, la prova richiede attualmente $g \geq 4$ (e specificamente $g=4$ per il caso Jacobiano) a causa delle specifiche proprietà di algebra lineare degli invarianti infinitesimali in queste dimensioni.

Inoltre, il saggio fornisce una risposta definitiva alla domanda di Pirola riguardante l'unicità della sezione di Griffiths-Pirola. Stabilisce che le "extra" sezioni razionali che ci si potrebbe aspettare sulla fibrazione Kummer (che è un quoziente del Jacobiano) non esistono; le uniche sezioni razionali sono quelle generate dalla costruzione geometrica canonica che coinvolge i due fasci trigonali delle curve di genere 4.

Il lavoro connette lo studio della struttura dell'anello di Chow (specificamente le potenze di Pontryagin di cicli di dimensione 0) con la teoria delle funzioni normali e dei loro invarianti infinitesimali, dimostrando che la non-scomparsa di questi invarianti per la sezione di Griffiths-Pirola è l'ostacolo chiave alla esistenza di altre sezioni razionali. L'autrice afferma esplicitamente che il metodo utilizzato per il Teorema 1.2 potrebbe potenzialmente essere esteso per studiare potenze superiori $D^k = 0$, portando a una congettura secondo la quale, per $g \geq 2k$, gli unici divisori con $D^k=0$ sono i divisori di torsione.