On the Chow ring of very general abelian varieties and a question of Pirola

Resumen Técnico de "On the Chow ring of very general abelian varieties and a question of Pirola" de Claire Voisin

Planteamiento del Problema
El artículo aborda dos problemas interconectados en la aritmética y la geometría de las variedades abelianas y los jacobianos.

1. Estructura del Anillo de Chow: La autora investiga el conjunto de divisores $D \in \text{CH}^1(A)_{\text{hom}}$ en una variedad abeliana muy general $A$ de dimensión $g \geq 4$ tales que la autointersección $D^2$ se anula en $\text{CH}^2(A)$. Trabajos previos establecieron que para $g \geq 3$, el lugar de tales divisores tiene dimensión 0, pero la pregunta persistía sobre si estos divisores son necesariamente puntos de torsión.
2. La Pregunta de Pirola: El artículo busca caracterizar las secciones racionales de la fibración Kummer $K = J/\pm \text{Id} \to \mathcal{M}_4$, donde $J \to \mathcal{M}_4$ es la fibración jacobiana universal sobre el espacio modular de curvas de género 4. Específicamente, aborda una conjetura de Pirola que establece que cualquier sección racional debe ser un múltiplo de la función normal de Griffiths-Pirola $\gamma_P$, la cual surge de la diferencia de los dos divisores trigonales de una curva de género 4.

Metodología
Las demostraciones se apoyan fuertemente en la teoría de los invariantes infinitesimales de Griffiths de las funciones normales, extendida a ciclos de mayor codimensión. La estrategia central consiste en analizar la anulación de estos invariantes para deducir propiedades globales de las secciones.

1. Invariantes Infinitesimales y Sucesiones Espectrales: La autora utiliza el invariante infinitesimal $\delta_Z(m)$ asociado a un ciclo $Z$. Para un divisor $D$, el invariante del cuadrado $D^2$ está relacionado con el cuadrado del invariante de $D$, es decir, $\delta_{D^2} = (\delta_D)^2$. El artículo establece la degeneración de sucesiones espectrales específicas (Proposición 2.5) para definir rigurosamente estos invariantes para familias de variedades abelianas.
2. Análisis Algebraico del Mapa de Cuadrado: Un componente técnico central es el análisis del mapa $M^2$ inducido por la operación de cuadrado en el espacio de invariantes infinitesimales.
   • Para el espacio modular de variedades abelianas $\mathcal{A}_g$ ($g \geq 4$), el espacio de invariantes se identifica con un cociente de $\text{Hom}(V, \text{Sym}^2 V)$.
   • Para el espacio modular de curvas $\mathcal{M}_4$, el espacio se identifica con un cociente que involucra $V_2 = \text{Sym}^2 V / q$, donde $q$ es la forma cuadrática que define la incrustación canónica de una curva de género 4.
   • La Proposición 3.1 demuestra que si el cuadrado de un invariante se anula (o satisface una relación de proporcionalidad específica), el invariante mismo debe ser de rango $\leq 1$ (o proporcional al invariante de Griffiths-Pirola). Esto se basa en argumentos de álgebra lineal que involucran restricciones a subespacios de dimensión 2 y la geometría de la variedad de Grassmann.
3. Argumentos de Tipo Ax-Schanuel: Una vez que se demuestra que un levantamiento local de una función normal tiene un diferencial de rango 1 (o una estructura algebraica específica), la autora emplea resultados de tipo Ax-Schanuel (citando [6], [1], [2]) y propiedades de los grupos de monodromía (específicamente que la imagen es densa en sentido de Zariski en el grupo simpléctico). Estos argumentos fuerzan a la función normal a ser horizontal (es decir, su derivada se anula), lo que implica que la sección es de torsión.
4. Descenso y Cohomología: Para el problema de la fibración Kummer, la autora utiliza el hecho de que, si bien una sección $\gamma$ está definida solo hasta el signo, su cuadrado $D_\gamma^2$ está bien definido. Al comparar $D_\gamma^2$ con el cuadrado de la sección de Griffiths-Pirola $D_{\gamma_P}^2$ (usando el Teorema 4.1 que establece que el grupo de Chow de la fibra genérica es unidimensional), la autora reduce el problema a la relación lineal de los invariantes infinitesimales derivados en la Sección 3.

Resultados Clave

• Teorema 1.2:

  • (i) Para una variedad abeliana muy general $A$ de dimensión $g \geq 4$, si un divisor $D \in \text{Pic}^0(A)$ satisface $D^2 = 0$ en $\text{CH}^2(A)$, entonces $D$ es un punto de torsión.
  • (ii) El mismo resultado se sostiene para un jacobiano muy general de una curva de género 4.
  • Corolario: Esto implica que el conjunto de puntos $x \in A$ tales que $({x} - \{0_A\})^{*2} = 0$ en $\text{CH}^0(A)$ consiste exactamente en los puntos de torsión.

• Teorema 1.8 (Conjetura de Pirola):

  • Todas las secciones racionales de la fibración Kummer $K = J/\pm \text{Id} \to \mathcal{M}_4$ son múltiplos racionales de la función normal de Griffiths-Pirola $\gamma_P$.
  • Específicamente, cualquier sección racional $\gamma$ satisface $N\gamma = N'\gamma_P$ para enteros $N, N'$ con $N \neq 0$.

Significación y Pretensiones
El artículo afirma resolver la cuestión de si la anulación del cuadrado de un divisor en el anillo de Chow de una variedad abeliana muy general implica que el divisor es de torsión, una pregunta que quedó abierta para dimensiones $g \geq 4$. La autora señala que, aunque el resultado es probablemente cierto para todo $g \geq 4$, la prueba requiere actualmente $g \geq 4$ (y específicamente $g=4$ para el caso jacobiano) debido a las propiedades algebraicas lineales específicas de los invariantes infinitesimales en estas dimensiones.

Además, el artículo proporciona una respuesta definitiva a la pregunta de Pirola respecto a la unicidad de la sección de Griffiths-Pirola. Establece que las secciones racionales "extra" que uno podría esperar en la fibración Kummer (que es un cociente del jacobiano) no existen; las únicas secciones racionales son aquellas generadas por la construcción geométrica canónica que involucra los dos penales trigonales de las curvas de género 4.

El trabajo conecta el estudio de la estructura del anillo de Chow (específicamente las potencias de Pontryagin de 0-ciclos) con la teoría de las funciones normales y sus invariantes infinitesimales, demostiendo que la no anulación de estos invariantes para la sección de Griffiths-Pirola es la obstrucción clave para la existencia de otras secciones racionales. La autora establece explícitamente que el método utilizado para el Teorema 1.2 podría extenderse potencialmente para estudiar potencias superiores $D^k = 0$, lo que conduce a una conjetura de que para $g \geq 2k$, los únicos divisores con $D^k=0$ son divisores de torsión.