On the Chow ring of very general abelian varieties and a question of Pirola

Resumo Técnico de "On the Chow ring of very general abelian varieties and a question of Pirola" por Claire Voisin

Enunciado do Problema
O artigo aborda dois problemas interconectados na aritmética e geometria de variedades abelianas e jacobianos.

1. Estrutura do Anel de Chow: A autora investiga o conjunto de divisores $D \in \text{CH}^1(A)_{\text{hom}}$ em uma variedade abeliana muito geral $A$ de dimensão $g \geq 4$ tais que a autointerseção $D^2$ desaparece em $\text{CH}^2(A)$. Trabalhos anteriores estabeleceram que, para $g \geq 3$, o locus de tais divisores tem dimensão 0, mas restava a questão de saber se esses divisores são necessariamente pontos de torção.
2. Questão de Pirola: O artigo busca caracterizar as seções racionais da fibração Kummer $K = J/\pm \text{Id} \to \mathcal{M}_4$, onde $J \to \mathcal{M}_4$ é a fibração jacobiana universal sobre o espaço de módulos de curvas de gênero 4. Especificamente, aborda uma conjectura de Pirola afirmando que qualquer seção racional desse tipo deve ser um múltiplo da função normal de Griffiths-Pirola $\gamma_P$, que surge da diferença dos dois divisores trigonais em uma curva de gênero 4.

Metodologia
As provas baseiam-se fortemente na teoria dos invariantes infinitesimais de Griffiths de funções normais, estendida para ciclos de codimensões superiores. A estratégia central envolve a análise do desaparecimento desses invariantes para deduzir propriedades globais de seções.

1. Invariantes Infinitesimais e Sequências Espectrais: A autora utiliza o invariante infinitesimal $\delta_Z(m)$ associado a um ciclo $Z$. Para um divisor $D$, o invariante do quadrado $D^2$ está relacionado ao quadrado do invariante de $D$, ou seja, $\delta_{D^2} = (\delta_D)^2$. O artigo estabelece a degenerescência de sequências espectrais específicas (Proposição 2.5) para definir rigorosamente esses invariantes para famílias de variedades abelianas.
2. Análise Algébrica do Mapa de Quadrado: Um componente técnico central é a análise do mapa $M^2$ induzido pela operação de quadrado no espaço de invariantes infinitesimais.
   • Para o espaço de módulos de variedades abelianas $\mathcal{A}_g$ ($g \geq 4$), o espaço de invariantes é identificado com um quociente de $\text{Hom}(V, \text{Sym}^2 V)$.
   • Para o espaço de módulos de curvas $\mathcal{M}_4$, o espaço é identificado com um quociente envolvendo $V_2 = \text{Sym}^2 V / q$, onde $q$ é a forma quadrática que define a imersão canônica de uma curva de gênero 4.
   • Proposição 3.1 prova que, se o quadrado de um invariante desaparece (ou satisfaz uma relação de proporcionalidade específica), o próprio invariante deve ser de posto $\leq 1$ (ou proporcional ao invariante de Griffiths-Pirola). Isso se baseia em argumentos de álgebra linear envolvendo restrições a subespaços de dimensão 2 e a geometria da variedade Grassmanniana.
3. Argumentos do Tipo Ax-Shanuel: Uma vez que um levantamento local de uma função normal é mostrado para ter um diferencial de posto 1 (ou uma estrutura algébrica específica), a autora emprega resultados do tipo Ax-Shanuel (citando [6], [1], [2]) e propriedades de grupos de monodromia (especificamente que a imagem é densa de Zariski no grupo simplético). Esses argumentos forçam a função normal a ser horizontal (ou seja, sua derivada desaparece), o que implica que a seção é de torção.
4. Descida e Cohomologia: Para o problema da fibração Kummer, a autora utiliza o fato de que, embora uma seção $\gamma$ seja definida apenas até o sinal, seu quadrado $D_\gamma^2$ é bem definido. Ao comparar $D_\gamma^2$ com o quadrado da seção de Griffiths-Pirola $D_{\gamma_P}^2$ (usando o Teorema 4.1, que afirma que o grupo de Chow da fibra genérica é unidimensional), a autora reduz o problema à relação linear de invariantes infinitesimais derivada na Seção 3.

Resultados Principais

• Teorema 1.2:

  • (i) Para uma variedade abeliana muito geral $A$ de dimensão $g \geq 4$, se um divisor $D \in \text{Pic}^0(A)$ satisfaz $D^2 = 0$ em $\text{CH}^2(A)$, então $D$ é um ponto de torção.
  • (ii) O mesmo resultado vale para um jacobiano muito geral de uma curva de gênero 4.
  • Corolário: Isso implica que o conjunto de pontos $x \in A$ tais que $({x} - \{0_A\})^{*2} = 0$ em $\text{CH}^0(A)$ consiste exatamente nos pontos de torção.

• Teorema 1.8 (Conjectura de Pirola):

  • Todas as seções racionais da fibração Kummer $K = J/\pm \text{Id} \to \mathcal{M}_4$ são múltiplos racionais da função normal de Griffiths-Pirola $\gamma_P$.
  • Especificamente, qualquer seção racional $\gamma$ satisfaz $N\gamma = N'\gamma_P$ para inteiros $N, N'$ com $N \neq 0$.

Significância e Alegações
O artigo afirma resolver a questão de se o desaparecimento do quadrado de um divisor no anel de Chow de uma variedade abeliana muito geral implica que o divisor é de torção, uma questão deixada em aberto para dimensões $g \geq 4$. A autora observa que, embora o resultado seja provavelmente verdadeiro para todo $g \geq 4$, a prova atualmente requer $g \geq 4$ (e especificamente $g=4$ para o caso jacobiano) devido às propriedades algébricas lineares específicas dos invariantes infinitesimais nessas dimensões.

Além disso, o artigo fornece uma resposta definitiva à questão de Pirola sobre a unicidade da seção de Griffiths-Pirola. Estabelece-se que as seções racionais "extras" que se poderia esperar na fibração Kummer (que é um quociente do jacobiano) não existem; as únicas seções racionais são aquelas geradas pela construção geométrica canônica envolvendo os dois feixes trigonais de curvas de gênero 4.

O trabalho conecta o estudo da estrutura do anel de Chow (especificamente as potências de Pontryagin de 0-ciclos) com a teoria de funções normais e seus invariantes infinitesimais, demonstrando que o não desaparecimento desses invariantes para a seção de Griffiths-Pirola é o principal obstáculo à existência de outras seções racionais. A autora afirma explicitamente que o método usado para o Teorema 1.2 poderia potencialmente ser estendido para estudar potências superiores $D^k = 0$, levando à conjectura de que, para $g \geq 2k$, os únicos divisores com $D^k=0$ são divisores de torção.