Topology of Galois conjugate character varieties

Sintesi Tecnica: Topologia delle Varietà di Caratteri Coniugate per Galois

Enunciato del Problema
Il saggio investiga la dipendenza topologica delle varietà di caratteri $M_{n,d}$ dal parametro di grado $d$. Sia $C$ una curva proiettiva non singolare di genere $g \geq 2$, e sia $n \geq 2$ un intero coprimo con $d$. La varietà di caratteri $M_{n,d}$ è definita come lo spazio moduli di Betti delle rappresentazioni di $\pi_1(C)$ in $GL_n(\mathbb{C})$ con determinante $\xi_n^d$, dove $\xi_n$ è una radice $n$-esima primitiva dell'unità.

Una questione centrale, posta da Hausel nel 2005 (Domanda 0.1), riguarda se $M_{n,d}$ e $M_{n,d'}$ siano omeomorfe (o omotopiche) per ogni $d, d'$ coprimi con $n$. Sebbene sia noto che queste varietà siano coniugate per Galois e condividano numeri di Betti e anelli di coomologia razionale identici, l'esistenza di un omeomorfismo che preservi il locus unitario (che distingue $d$ da $d'$ tramite la corrispondenza di Harder–Narasimhan) rimane un problema aperto. Gli invarianti topologici precedenti, inclusi i gruppi fondamentali e i gruppi di omotopia superiori, non riescono a distinguere questi spazi. Gli autori mirano a determinare se l'anello di coomologia integrale fornisca un invariante più fine capace di distinguere i tipi di omotopia delle varietà di caratteri coniugate per Galois.

Metodologia
Gli autori sviluppano un quadro che combina strutture integrali, gruppi di automorfismi di anelli di coomologia e relazioni tautologiche per rilevare differenze topologiche.

1. Automorfismi di Coomologia e Strutture Integrali:
   Il saggio stabilisce che l'anello di coomologia razionale $H^*(M_{n,d}, \mathbb{Q})$ è isomorfo a un $\mathbb{Q}$-algebra graduata $R_{g,n}$ tensore con la coomologia di un toro, dove $R_{g,n}$ è indipendente da $d$ (Teorema 0.3). Gli autori definiscono $G_{g,n}$ come il gruppo degli automorfismi graduati di $R_{g,n}$. Essi propongono che se gli anelli di coomologia integrale di $M_{n,d}$ e $M_{n,d'}$ fossero isomorfi, esisterebbe un automorfismo in $G_{g,n}$ che preserva i reticoli integrali indotti da diversi gradi $d$ e $d'$.

2. Automorfismi Debolmente Diagonali:
   Una riduzione strutturale chiave coinvolge il sottogruppo $G^{wd}_{g,n} \subset G_{g,n}$ degli automorfismi "debolmente diagonali" che preservano specifiche rette nelle componenti di coomologia di basso grado ($\mathbb{Q}\alpha_3$ e $\mathbb{Q}\beta_2$). Il Teorema 0.5 afferma che se $G^{wd}_{g,n} = G_{g,n}$ (ovvero tutti gli automorfismi sono debolmente diagonali), allora gli anelli di coomologia integrale di $M_{n,d}$ e $M_{n,d'}$ sono isomorfi se e solo se $d \equiv \pm d' \pmod n$.

3. Relazioni Tautologiche:
   Per verificare la condizione $G^{wd}_{g,n} = G_{g,n}$, gli autori analizzano l'ideale di relazioni tra i generatori tautologici ($\alpha_i, \beta_i, \psi_{i,j}$). Essi utilizzano:

   • Le formule chiuse per i polinomi di Poincaré (Hausel–Rodriguez-Villegas, Schiffmann, Mellit) per determinare il grado più basso nel quale deve esistere una relazione non banale.
   • Le relazioni per i fasci vettoriali stabili (Earl–Jeffrey–Kirwan) per identificare candidati per queste relazioni nell'ambito della varietà di caratteri.
   • Una relazione tautologica "distinta" $\Upsilon_{g,n}$ nel grado di coomologia più basso possibile $r_{g,n} = 4g(n-1) - 2n$.

4. Verifica Computazionale:
   Per il caso specifico $(g, n) = (2, 5)$, gli autori eseguono calcoli espliciti di algebra lineare per:

   • Determinare l'unica relazione omogenea $\Upsilon_{2,5}$ in grado 22 (Teorema 3.16).
   • Calcolare la dimensione dell'algebra di Lie dello stabilizzatore di tale relazione all'interno del gruppo di automorfismo.
   • Verificare che la dimensione del gruppo di automorfismo completo sia sufficientemente piccola da forzare la condizione di "debolmente diagonale".

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema 0.2 (Risultato Principale): Per una curva di genere $g=2$, gli spazi topologici $M_{5,1}$ e $M_{5,2}$ non sono omotopici. Ciò fornisce il primo controesempio alla domanda di Hausel del 2005, dimostrando che le varietà di caratteri coniugate per Galois possono avere tipi di omotopia distinti.
• Teorema 0.5: Stabilisce un criterio per la non esistenza di isomorfismi tra anelli di coomologia integrale basato sulla struttura del gruppo di automorfismo $G_{g,n}$. Specificamente, se tutti gli automorfismi sono debolmente diagonali, le strutture integrali distinguono i gradi.
• Teorema 0.6: Dimostra che per $(g, n) = (2, 5)$, il gruppo di automorfismi $G_{2,5}$ coincide con il sottogruppo degli automorfismi debolmente diagonali ($G^{wd}_{2,5} = G_{2,5}$). Ciò è ottenuto mostrando che la dimensione dell'algebra di Lie dello stabilizzatore della relazione $\Upsilon_{2,5}$ è 12, che è strettamente inferiore alla dimensione richiesta affinché esistano automorfismi non diagonali.
• Teorema 0.7: Identifica un'unica relazione tautologica distinta $\Upsilon_{g,n} = 0$ nel grado $r_{g,n}$ per $g \geq 2, n \geq 3$. Per $(2, 5)$, questa relazione è computata esplicitamente (Teorema 3.16) e mostrata come invariante rispetto alla simmetria simpatica.
• Proposizione 1.3: Conferma che i gruppi di omotopia superiori $\pi_k(M_{n,d})$ per $k > 1$ sono indipendenti da $d$, rafforzando il fatto che i gruppi di omotopia sono insufficienti per distinguere questi spazi.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di rispondere negativamente alla domanda di Hausel del 2005 riguardo all'omeomorfismo delle varietà di caratteri coniugate per Galois. Gli autori affermano che l'anello di coomologia integrale è il primo invariante topologico noto sensibile al grado $d$ della varietà di caratteri, rivelando differenze topologiche che sono "nascoste più in profondamente" rispetto alla coomologia razionale o ai numeri di Betti.

Il lavoro evidenzia come, sebbene le varietà coniugate per Galois condividano spesso la coomologia razionale, le loro strutture integrali possano differire significativamente. Il metodo si basa sull'interazione tra la gradazione di Chern (che scinde la filtrazione del peso), le relazioni tautologiche e la rigidità del gruppo di automorfismo dell'anello di coomologia. Gli autori notano che il loro approccio è computazionalmente intensivo; la prova per $(2, 5)$ ha richiesto la risoluzione di un grande problema di algebra lineare riguardante lo stabilizzatore di una specifica relazione. Suggeriscono che risorse computazionali più forti potrebbero produrre ulteriori controesempi per altre coppie $(g, n)$.

Il saggio non pretende una classificazione generale per tutti i $g, n$, ma fornisce piuttosto un quadro strutturale (Congettura 0.4) e un metodo concreto per confutare l'equivalenza di omotopia in casi specifici in cui il gruppo di automorfismo è sufficientemente vincolato dalle relazioni tautologiche.