Topology of Galois conjugate character varieties

Résumé Technique : Topologie des variétés de caractères de conjugaison de Galois

Énoncé du Problème
L'article étudie la dépendance topologique des variétés de caractères $M_{n,d}$ par rapport au paramètre de degré $d$. Soit $C$ une courbe projective non singulière de genre $g \geq 2$, et $n \geq 2$ un entier premier avec $d$. La variété de caractères $M_{n,d}$ est définie comme l'espace de modules de Betti des représentations de $\pi_1(C)$ dans $GL_n(\mathbb{C})$ avec déterminant $\xi_n^d$, où $\xi_n$ est une racine $n$-ième primitive de l'unité.

Une question centrale, posée par Hausel en 2005 (Question 0.1), est de savoir si $M_{n,d}$ et $M_{n,d'}$ sont homéomorphes (ou homotopy équivalents) pour tout $d, d'$ premiers avec $n$. Bien qu'il soit connu que ces variétés sont des conjuguées de Galois et partagent des nombres de Betti et des anneaux de cohomologie rationnelle identiques, l'existence d'un homéomorphisme préservant le lieu unitaire (qui distingue $d$ de $d'$ via la correspondance de Harder–Narasimhan) demeure un problème ouvert. Les invariants topologiques précédents, incluant les groupes fondamentaux et les groupes de homotopie supérieurs, ne parviennent pas à distinguer ces espaces. Les auteurs visent à déterminer si l'anneau de cohomologie entière constitue un invariant plus fin capable de distinguer les types d'homotopie des variétés de caractères de conjugaison de Galois.

Méthodologie
Les auteurs développent un cadre combinant les structures intégrales, les groupes d'automorphismes des anneaux de cohomologie et les relations tautologiques pour détecter des différences topologiques.

1. Automorphismes Cohomologiques et Structures Intégrales :
   L'article établit que l'anneau de cohomologie rationnelle $H^*(M_{n,d}, \mathbb{Q})$ est isomorphe à une algèbre graduée $\mathbb{Q}$-algèbre $R_{g,n}$ tensorisée avec la cohomologie d'un tore, où $R_{g,n}$ est indépendant de $d$ (Théorème 0.3). Les auteurs définissent $G_{g,n}$ comme le groupe des automorphismes gradués de $R_{g,n}$. Ils proposent que si les anneaux de cohomologie entière de $M_{n,d}$ et $M_{n,d'}$ étaient isomorphes, il existerait un automorphisme dans $G_{g,n}$ qui préserve les réseaux intégraux induits par les différents degrés $d$ et $d'$.

2. Automorphismes Faiblement Diagonaux :
   Une réduction structurelle clé implique le sous-groupe $G^{wd}_{g,n} \subset G_{g,n}$ des automorphismes « faiblement diagonaux » qui préservent des droites spécifiques dans les composantes de bas degré de la cohomologie ($\mathbb{Q}\alpha_3$ et $\mathbb{Q}\beta_2$). Le Théorème 0.5 stipule que si $G^{wd}_{g,n} = G_{g,n}$ (c'est-à-dire que tous les automorphismes sont faiblement diagonaux), alors les anneaux de cohomologie entière de $M_{n,d}$ et $M_{n,d'}$ sont isomorphes si et seulement si $d \equiv \pm d' \pmod n$.

3. Relations Tautologiques :
   Pour vérifier la condition $G^{wd}_{g,n} = G_{g,n}$, les auteurs analysent l'idéal de relations parmi les générateurs tautologiques ($\alpha_i, \beta_i, \psi_{i,j}$). Ils utilisent :

   • Les formules fermées pour les polynômes de Poincaré (Hausel–Rodriguez-Villegas, Schiffmann, Mellit) pour déterminer le plus bas degré dans lequel une relation non triviale doit exister.
   • Les relations pour les fibrés vectoriels stables (Earl–Jeffrey–Kirwan) pour identifier des candidats pour ces relations dans le contexte de la variété de caractères.
   • Une relation tautologique « distinguée » $\Upsilon_{g,n}$ dans le degré cohomologique le plus bas $r_{g,n} = 4g(n-1) - 2n$.

4. Vérification Computationnelle :
   Pour le cas spécifique $(g, n) = (2, 5)$, les auteurs effectuent des calculs explicites d'algèbre linéaire pour :

   • Déterminer l'unique relation homogène $\Upsilon_{2,5}$ de degré 22 (Théorème 3.16).
   • Calculer la dimension de l'algèbre de Lie du stabilisateur de cette relation au sein du groupe d'automorphismes.
   • Vérifier que la dimension du groupe d'automorphismes complet est suffisamment petite pour forcer la condition « faiblement diagonale ».

Contributions Clés et Résultats

• Théorème 0.2 (Résultat Principal) : Pour une courbe de genre $g=2$, les espaces topologiques $M_{5,1}$ et $M_{5,2}$ ne sont pas homotopy équivalents. Cela constitue le premier contre-exemple à la question de Hausel de 2005, démontrant que les variétés de caractères de conjugaison de Galois peuvent avoir des types d'homotopie distincts.
• Théorème 0.5 : Établit un critère pour la non-existence d'isomorphismes entre les anneaux de cohomologie entière basé sur la structure du groupe d'automorphismes $G_{g,n}$. Si tous les automorphismes sont faiblement diagonaux, les structures intégrales distinguent les degrés.
• Théorème 0.6 : Prouve que pour $(g, n) = (2, 5)$, le groupe des automorphismes $G_{2,5}$ coïncide avec le sous-groupe des automorphismes faiblement diagonaux ($G^{wd}_{2,5} = G_{2,5}$). Ceci est réalisé en montrant que la dimension de l'algèbre de Lie du stabilisateur de la relation $\Upsilon_{2,5}$ est de 12, ce qui est strictement inférieur à la dimension requise pour que des automorphismes non-diagonaux puissent exister.
• Théorème 0.7 : Identifie une relation tautologique distinguée unique $\Upsilon_{g,n} = 0$ de degré $r_{g,n}$ pour $g \geq 2, n \geq 3$. Pour $(2, 5)$, cette relation est explicitement calculée (Théorème 3.16) et montrée comme étant invariante par symplectique.
• Proposition 1.3 : Confirme que les groupes de homotopie supérieurs $\pi_k(M_{n,d})$ pour $k > 1$ sont indépendants de $d$, renforçant le fait que les groupes de homotopie sont insuffisants pour distinguer ces espaces.

Signification et Revendications
L'article prétend répondre négativement à la question de Hausel de 2005 concernant l'homéomorphisme des variétés de caractères de conjugaison de Galois. Les auteurs affirment que l'anneau de cohomologie entière est le premier invariant topologique connu sensible au degré $d$ de la variété de caractères, révélant des différences topologiques qui sont « cachées plus profondément » que la cohomologie rationnelle ou les nombres de Betti.

Le travail souligne que bien que les variétés de conjugaison de Galois partagent souvent une cohomologie rationnelle, leurs structures intégrales peuvent différer considérablement. La méthode repose sur l'interaction entre le dégré de Chern (fractionnant la filtration de poids), la relation tautologique et la rigidité du groupe d'automorphismes de l'anneau de cohomologie. Les auteurs notent que leur approche est intensive en termes de calcul ; la preuve pour $(2, 5)$ a nécessité la résolution d'un grand problème d'algèbre linéaire impliquant le stabilisateur d'une relation spécifique. Ils suggèrent que des ressources de calcul plus puissantes pourraient produire d'autres contre-exemples pour d'autres paires $(g, n)$.

L'article ne prétend pas fournir une classification générale pour tous les $g, n$, mais fournit plutôt un cadre structurel (Conjecture 0.4) et une méthode concrète pour infirmer l'équivalence d'homotopie dans des cas spécifiques où le groupe d'automorphismes est suffisamment contraint par les relations tautologiques.