Topology of Galois conjugate character varieties

Resumen Técnico: Topología de las Variedades de Caracteres de Conjugados de Galois

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la dependencia topológica de las variedades de caracteres $M_{n,d}$ respecto al parámetro de grado $d$. Sea $C$ una curva proyectiva no singular de género $g \geq 2$, y sea $n \geq 2$ un entero coprimo con $d$. La variedad de caracteres $M_{n,d}$ se define como el espacio moduli de Betti de las representaciones del grupo fundamental $\pi_1(C)$ en $GL_n(\mathbb{C})$ con determinante $\xi_n^d$, donde $\xi_n$ es una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad.

Una cuestión central, planteada por Hausel en 2005 (Pregunta 0.1), es si $M_{n,d}$ y $M_{n,d'}$ son homeomorfos (o homotópicamente equivalentes) para cualquier $d, d'$ coprimos con $n$. Si bien se sabe que estas variedades son conjugadas de Galois y comparten números de Betti e anillos de cohomología racional idénticos, la existencia de un homeomorfismo que preserve el locus unitario (que distingue a $d$ de $d'$ mediante la correspondencia de Harder–Narasimhan) sigue siendo un problema abierto. Los invariantes topológicos previos, incluyendo los grupos fundamentales y los grupos de homotopía superiores, no logran distinguir estos espacios. Los autores pretenden determinar si el anillo de cohomología integral proporciona un invariante más fino capaz de distinguir los tipos de homotopía de las variedades de caracteres conjugadas de Galois.

Metodología
Los autores desarrollan un marco que combina estructuras integrales, grupos de automorfismos de anillos de cohomología y relaciones tautológicas para detectar diferencias topológicas.

1. Automorfismos Cohomológicos y Estructuras Integrales:
   El artículo establece que el anillo de cohomología racional $H^*(M_{n,d}, \mathbb{Q})$ es isomorfo a un $\mathbb{Q}$-álgebra graduada $R_{g,n}$ tensado con la cohomología de un toro, donde $R_{g,n}$ es independiente de $d$ (Teorema 0.3). Los autores definen $G_{g,n}$ como el grupo de automorfismos graduados de $R_{g,n}$. Proponen que si los anillos de cohomología integral de $M_{n,d}$ y $M_{n,d'}$ fueran isomorfos, existiría un automorfismo en $G_{g,n}$ que preservara las redes integrales inducidas por diferentes grados $d$ y $d'$.

2. Automorfismos Débilmente Diagonales:
   Una reducción estructural clave involucra el subgrupo $G^{wd}_{g,n} \subset G_{g,n}$ de automorfismos "débilmente diagonales", que preservan líneas específicas en los componentes de bajo grado de la cohomología ($\mathbb{Q}\alpha_3$ y $\mathbb{Q}\beta_2$). El Teorema 0.5 establece que si $G^{wd}_{g,n} = G_{g,n}$ (es decir, todos los automorfismos son débilmente diagonales), entonces los anillos de cohomología integral de $M_{n,d}$ y $M_{n,d'}$ son isomorfos si y solo si $d \equiv \pm d' \pmod n$.

3. Relaciones Tautológicas:
   Para verificar la condición $G^{wd}_{g,n} = G_{g,n}$, los autores analizan el ideal de relaciones entre los generadores tautológicos ($\alpha_i, \beta_i, \psi_{i,j}$). Utilizan:

   • Las fórmulas cerradas para los polinomios de Poincaré (Hausel–Rodriguez-Villegas, Schiffmann, Mellit) para determinar el grado más bajo en el que debe existir una relación no trivial.
   • Las relaciones para fibrados vectoriales estables (Earl–Jeffrey–Kirwan) para identificar candidatos para estas relaciones en el contexto de la variedad de caracteres.
   • Una relación tautológica "distinguida" $\Upsilon_{g,n}$ en el grado cohomológico más bajo posible $r_{g,n} = 4g(n-1) - 2n$.

4. Verificación Computacional:
   Para el caso específico $(g, n) = (2, 5)$, los autores realizan cálculos explícitos de álgebra lineal para:

   • Determinar la única relación homogénea $\Upsilon_{2,5}$ en el grado 22 (Teorema 3.16).
   • Calcular la dimensión de la álgebra de Lie del estabilizador de esta relación dentro del grupo de automorfismos.
   • Verificar que la dimensión del grupo de automorfismos completo es lo suficientemente pequeña como para forzar la condición de "débilmente diagonal".

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 0.2 (Resultado Principal): Para una curva de género $g=2$, los espacios topológicos $M_{5,1}$ y $M_{5,2}$ no son homotópicamente equivalentes. Esto proporciona el primer contraejemplo a la pregunta de Hausel de 2005, demostrando que las variedades de caracteres conjugadas de Galois pueden tener tipos de homotopía distintos.
• Teorema 0.5: Establece un criterio para la no existencia de isomorfismos entre anillos de cohomología integral basado en la estructura del grupo de automorfismos $G_{g,n}$. Específicamente, si todos los automorfismos son débilmente diagonales, las estructuras integrales distinguen los grados.
• Teorema 0.6: Prueba que para $(g, n) = (2, 5)$, el grupo de automorfismos $G_{2,5}$ coincide con el subgrupo de automorfismos débilmente diagonales ($G^{wd}_{2,5} = G_{2,5}$). Esto se logra demostrando que la dimensión del álgebra de Lie del estabilizador de la relación $\Upsilon_{2,5}$ es 12, la cual es estrictamente menor que la dimensión requerida para que existan automorfismos no diagonales.
• Teorema 0.7: Identifica una relación tautológica distinguida única $\Upsilon_{g,n} = 0$ en el grado $r_{g,n}$ para $g \geq 2, n \geq 3$. Para $(2, 5)$, esta relación se computa explícitamente (Teorema 3.16) y se muestra que es invariante simpléctica.
• Proposición 1.3: Confirma que los grupos de homotopía superiores $\pi_k(M_{n,d})$ para $k > 1$ son independientes de $d$, reforzando que los grupos de homotopía son insuficientes para distinguir estos espacios.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma responder negativamente a la pregunta de Hausel de 2005 sobre la homeomorfía de las variedades de caracteres conjugadas de Galois. Los autores sostienen que el anillo de cohomología integral es el primer invariante topológico conocido que es sensible al grado $d$ de la variedad de caracteres, revelando diferencias topológicas que están "ocultas más profundamente" que la cohomología racional o los números de Betti.

El trabajo destaca que, si bien las variedades conjugadas de Galois a menudo comparten la misma cohomología racional, sus estructuras integrales pueden diferir significamente. El método se basa en la interacción entre la graduación de Chern (que descompone la filtración de peso), las relaciones tautológicas y la rigidez del grupo de automorfismos del anillo de cohomología. Los autores señalan que su enfoque es computacionalmente intensivo; la prueba para $(2, 5)$ requirió resolver un gran problema de álgebra lineal relacionado con el estabilizador de una relación específica. Sugieren que recursos computacionales más potentes podrían producir más contraejemplos para otros pares $(g, n)$.

El artículo no pretende realizar una clasificación general para todos los $g, n$, sino que proporciona un marco estructural (Conjetura 0.4) y un método concreto para refutar la equivalencia de homotopía en casos específicos donde el grupo de automorfismos está suficientemente restringido por las relaciones tautológicas.